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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 6

6. Seja F = ( P   ,   Q   ,   R ) de classe C 1 no aberto R 3 -   { ( 0,0 ,   0 ) } . Seja σ a fronteira do conjunto K   =   { ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3   |   x ²   +   y ²   -   1   ≤   z   ≤   1   -   x ² -   y ² } com normal apontando para fora de K. Mostre que

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = 0

Passo 1

Neste caso não podemos usar o teorema de Stolkes por um único motivo. Não temos uma borda. Nossa superfície é fechada. Então a pergunta é o que fazer ? Poderíamos realmente calcular o fluxo dessa função , mas vou te ensinar um truque. O teorema de Gauss

∫ ∫ σ   F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     F → d V  

Ou seja o fluxo de vetores que atravessa a superfície é igual a fonte desses vetores dentro do volume interior a essa superfície. De um jeito simples é que iguala o fluxo a sua fonte. E por isso a região tem que ser fechada. Para não ter nenhum “vazamento de fluxo”.

NO nosso caso temos uma superfície fechada então vamos aplicar Gauss aqui. Com um truque, vamos substituir

F → ∇ × F →

Afinal esse F do teorema é genérico. Então ficamos com

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     ∇ × F → d V  

E uma propriedade importante é que

∇   .     ∇ × A → = 0

Para qualquer que seja essa função vetorial. Logo temos que

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     ∇ × F → d V = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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