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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 1j

Calcule f^' (x) .

f (x) = root(3)(x) + sqrt(x)

Passo 1

A derivada é igual à derivada da soma, então:

f^' (x) = (root(3)(x) + sqrt(x))^' = (root(3)(x))^' + (sqrt(x))^'

A derivada de x^n é igual a n x^(n - 1) , como sabemos que root(3)(x) = x^((1)/(3)) , nós podemos calcular a derivada como:

(root(3)(x))^' = (x^((1)/(3)))^' = (1)/(3) * x^((1)/(3) - 1) = (1)/(3) * x^(- (2)/(3)) = (1)/(3 root(3)(x^2))

Passo 2

Do mesmo modo, sabendo que sqrt(x) = x^((1)/(2)) , temos:

(sqrt(x))^' = (x^((1)/(2)))^' = (1)/(2) * x^((1)/(2) - 1) = (1)/(2) * x^(- (1)/(2)) = (1)/(2 sqrt(x))

Assim:

f^' (x) = (root(3)(x))^' + (sqrt(x))^' = (1)/(3 root(3)(x^2)) + (1)/(2 sqrt(x))

Logo:

f^' (x) = (1)/(3 root(3)(x^2)) + (1)/(2 sqrt(x))

Resposta

f^' (x) = (1)/(3 root(3)(x^2)) + (1)/(2 sqrt(x))

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