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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 14c

Calcule F^' (x) sendo F (x) igual a

e^x sen x cos x

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

(h (x) g (x))^' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x)

Temos que:

h (x) = e^x sen x

e

g (x) = cos x

Assim:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (e^x sen x)^' * cos x + (cos x)^' * e^x sen x

Passo 2

Vamos usar a regra da função exponencial e da função trigonométrica:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(cos (x))^' = - sen (x)

(sen (x))^' = cos (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , vamos usar a regra do produto novamente:

(r (x) s (x))^' = r ' (x) s (x) + s ' (x) r (x)

Temos que:

r (x) = e^x

e

s (x) = sen x

Assim:

(e^x sen x)^' = r^' (x) s (x) + s^' (x) r (x) = (e^x)^' * sen x + (sen x)^' * e^x

Para calcular r^' (x) vamos usar a regra da função exponencial:

r ' ( x ) = (e^x)^' = e^x * (x)^' = e^x * x^(1 - 1) = e^x * x^0 = e^x * 1 = e^x

Com s ' ( x ) a da função trigonométrica:

s^' (x) = (sen x)^' = cos x

Substituindo de volta:

(e^x sen x)^' = (e^x)^' * sen x + (sen x)^' * e^x = e^x * sen x + cos x * e^x = e^x (sen x + cos x)

Passo 4

Por último, com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' ( x ) = (cos x)^' = - sen x

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = (e^x sen x)^' * cos x + (cos x)^' * e^x sen x = e^x (sen x + cos x) * cos x + (- sen x) * e^x sen x = e^x (sen x cos x + cos^2 x - sen^2 x)

Resposta

f^' (x) = e^x (sen x cos x + cos^2 x - sen^2 x)

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