Calcule F'(x) sendo F(x) igual a

e^x \* sen(x) \* cos(x)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Temos que:

h x = e x sen ⁡ x

e

g x = cos ⁡ x

Assim:

f ' x = h ' x g x + g ' x h x = e x sen ⁡ x ' ⋅ cos ⁡ x + cos ⁡ x ' ⋅ e x sen ⁡ x

Passo 2

Vamos usar a regra da função exponencial e da função trigonométrica:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , vamos usar a regra do produto novamente:

r x s x ' = r ' x s x + s ' x r x

Temos que:

r x = e x

e

s x = sen ⁡ x

Assim:

e x sen ⁡ x ' = r ' x s x + s ' x r x = e x ' ⋅ sen ⁡ x + sen ⁡ x ' ⋅ e x

Para calcular r ' x vamos usar a regra da função exponencial:

r ' ( x ) = e x ' = e x ⋅ x ' = e x ⋅ x 1 - 1 = e x ⋅ x 0 = e x ⋅ 1 = e x

Com s ' ( x ) a da função trigonométrica:

s ' x = sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Substituindo de volta:

e x sen ⁡ x ' = e x ' ⋅ sen ⁡ x + sen ⁡ x ' ⋅ e x = e x ⋅ sen ⁡ x + cos ⁡ x ⋅ e x = e x sen ⁡ x + cos ⁡ x

Passo 4

Por último, com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' ( x ) = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = e x sen ⁡ x ' ⋅ cos ⁡ x + cos ⁡ x ' ⋅ e x sen ⁡ x = e x sen ⁡ x + cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x + - sen ⁡ x ⋅ e x sen ⁡ x = e x sen ⁡ x cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ x

Resposta

f ' x = e x sen ⁡ x cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ x

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