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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 12e

Calcule f^' (x) .

f (x) = x^2 ln x + 2 e^x

Passo 1

Vamos lá, temos aqui que a derivada da soma é a soma das derivadas:

f^' ( x ) = (x^2 ln x + 2 e^x) ' = (x^2 ln x) ' + ( 2 e^x ) '

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da multiplicação por constante, da função logarítmica natural e da função exponencial:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(k f (x))^' = k f ' ( x )

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

Passo 3

Na primeira vamos usar a regra do produto:

(h (x) g (x))^' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x)

Temos que:

h (x) = x^2

e

g (x) = ln x

Assim:

(x^2 ln x) ' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x) = (x^2)^' (ln x) + (ln x)^' (x^2)

Passo 4

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

h ' ( x ) = (x^2)^' = 2 x^(2 - 1) = 2 x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função logarítmica natural:

g^' (x) = (ln x)^' = (1)/(x) * (x)^' = (1)/(x) * x^(1 - 1) = (1)/(x) * x^0 = (1)/(x) * 1 = (1)/(x)

Juntando:

(x^2 ln x)^' = (x^2)^' (ln x) + (ln x)^' (x^2) = 2 x (ln x) + (1)/(x) (x^2) = 2 x ln x + x

Passo 5

Agora vamos usar a regra da multiplicação por constante e da função exponencial:

(2 e^x)^' = 2 (e^x)^' = 2 e^x . (x)^' = 2 e^x . x^(1 - 1) = 2 e^x . x^0 = 2 e^x . 1 = 2 e^x

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = (x^2 ln x)^' + (2 e^x)^' = 2 x ln x + x + 2 e^x

Resposta

f^' ( x ) = 2 x ln x + x + 2 e^x

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