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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 1h

Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado.

y = 1 + x em p = 1

Passo 1

A derivada de f x = y em p pode ser calculada pelo limite:

f ' p = lim h → 0 ⁡ f h + p - f p h

Então:

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ 1 + h + 1 - 1 + 1 h

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ 1 + h + 1 - 2 h

Passo 2

Podemos multiplicar pelo conjugado:

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ 1 + h + 1 - 2 h 1 + h + 1 + 2 1 + h + 1 + 2

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ 1 + h + 1 - 2 h 1 + h + 1 + 2

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ h + 1 - 1 h 1 + h + 1 + 2

Multiplicando, agora, pelo conjugado:

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ h + 1 - 1 h 1 + h + 1 + 2 ⋅ h + 1 + 1 h + 1 + 1

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ h + 1 - 1 h 1 + h + 1 + 2 h + 1 + 1

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ h h 1 + h + 1 + 2 h + 1 + 1

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ 1 1 + h + 1 + 2 h + 1 + 1 = 1 1 + 0 + 1 + 2 0 + 1 + 1

f ' 1 = 1 2 2 2 = 1 4 2 ⋅ 2 2 = 2 8

f ' 1 = 2 8

Resposta

f ' 1 = 2 8

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