9 . Calcule a área da parte da superfície z = x^(3/2) + y^(3/2), 0 <= x <= 8/9 e 0 <= y <= 9/16 \* x^2

Passo 1

Vamos Lembrar que nossa estrutura de cálculo é

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

E que essa região é uma seção de um paraboloide

Passo 2

Então vamos usar nossa equação do paraboloide e projetar ela no plano XY

z = x 3 / 2 + y 3 / 2  

Logo como vamos projetar em XY, Só nos resta agora calcular as derivadas parciais de z

z x = 3 2 x 1 2

z y = 3 2 y 1 2

Passo 3

SHOW!!!! Vamos Unir o que já calculamos a nossa integral

∫ ∫ R ' 1 + 3 2 x 1 2 2 + 3 2 y 1 2 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 + 9 4 x + y d y d x

Beleza Agora já temos nossa equação pra integrar. Só precisamos agora terminar descobrir o intervalo de integração. E ele será dado pelas equações de contorno do enunciado

0 ≤ x ≤ 8 9

0 ≤ y ≤ 9 16 x 2

Vamos integrar agora

∫ 0 8 9   ∫ 0 9 16 x 2 1 + 9 4 x + y d y d x

= 1 27 ∫ 0 8 / 9   9 x + 9 x 2 16 + 4 3 2 - 9 x + 4 3 2   d x

= 16 79 - 36 3 1215

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x   = 16 79 - 36 3 1215

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