1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.)

  1. σ(u, v) = (u, v, 1 - u - v), u ≥ 0, v ≥ 0 e u + v ≤ 1.
  2. σ(u, v) = (u, v, 2 - u - v), u^2 + v^2 ≤ 1.
  3. σ(u, v) = (u, v, u^2 + v^2), u^2 + v^2 ≤ 4.
  4. σ(u, v) = (u, v, 4 - u^2 - v^2), (u, v) ∈ K , onde K é o conjunto no plano uv limitado pelo eixo u e pela curva (em coordenadas polares) ρ = e -θ, 0 ≤ θ ≤ pi
  5. σ(u, v) = (u, v, 1/2 * u^2), 0 ≤ v ≤ u e u ≤ 2
  6. σ(u, v) = (cos u, v, sen u), u^2 + 4v^2 ≤ 1

Passo 1

O primeiro passo é saber que superfície estamos trabalhando. A parametrização acima nos da

σ   u ,   v =   ( u ,   v ,   u 2   +   v 2 )

Sob as condições

u 2   +   v 2   ≤   4

Isso quer dizer que nossa região é um paraboloide

Passo 2

Quando quisermos calcular superfícies temos dois caminhos a seguir

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v   d u d v    

Ou

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Isso quer dizer que podemos: Parametrizar e calcular a área a partir daí. Projetar no num plano coordenado a superfície e calcular a área nessa superfície. Vou escolher a opção 2.

Passo 3

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Onde nosso z é

z =   u 2   +   v 2 )

Ou podemos escrever como

z = x 2 + y 2

Isso nos dá derivadas parciais da seguinte forma

z x =   2 x

z y =   2 y

Agora vamos jogar nossos dados na integração

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

=   ∫ ∫ R ' 1 + 2 x 2 + 2 y 2 d y d x

Agora só precisamos encontrar os intervalos de integração. Quando Projetamos a superfície no plano XY obtermos a seguinte região em verde

Lembra das condições iniciais u 2   +   v 2   ≤   4

Elas que nos dizem a região e assim como também os intervalos.Como estamos calculando uma região circular é melhor usarmos coordenadas polares para facilitar o cálculo. Lembrando que usamos essa regra

x 2 + y 2 = r 2

J = r

E como estamos num círculo nossos intervalos de integração são

0 < r < 2

0 < θ < 2 π

Assim nossa integral fica

∫ 0 2 π   ∫ 0 2   1 + 4 r 2   r     d r d θ

Podemos calcular por substituição sendo

u =   1 + 4 r 2

d u = 8 r   d r  

Como nossa integral não depende de θ   logo podemos integral logo por ele e substituir r  

2 π ∫ 1 8 u d u

= π 4   2 3 u 3 2

= π 6   u 3 / 2    

Agora voltamos com nossa função original e com os intervalos de integração

π 6   1 + 4 r 2 3 / 2 r = 0 2

= π 6   17 3 / 2   - 1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S d S =     π 6   17 3 / 2   - 1

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