Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 34
Calcule a área da região limitada pelo astroide (Os astroides foram explorados no Projeto de Laboratório na página 597).
Passo 1
A primeira coisa que temos que colocar em mente quando fizermos exercícios de área é o intervalo que queremos. Então como estamos trabalhando com equações paramétricas a nossa variável independente de dentro da função é a que precisamos para definir o intervalo.
Nesse caso o astroide vai de até então substituiremos esses valores de , isolando
Se
Se
Passo 2
Agora que já encontramos os intervalos podemos nos focar em resolver a integral. Mas antes disso vamos definir os valores que usaremos em função de
Sabendo que a área é definida por , precisamos definir
Dada a função , queremos encontrar
Passo 1: Aplicar a regra da cadeia
Vamos utilizar a regra da cadeia para derivar em relação a . A regra da cadeia afirma que se e , então:
Aqui, podemos ver .
Passo 2: Calcular
Passo 3: Calcular
Passo 4: Aplicar a regra da cadeia. Agora, substituímos e na regra da cadeia:
Passo 5: Simplificar a expressão:
Portanto, a derivada de em relação a é:
Passo 3
Tendo tudo definido podemos nos divertir com a integral:
Tirando o que for constante pra fora pra não nos confundirmos:
Para continuar nossa resolução precisamos lembrar de duas relações:
e
Substituindo então na integral:
Vamos chamar de e de . O que temos dentro do integrando é:
Então a nossa integral fica
Substituindo novamente pela relação sempre lembrando que o ângulo dobra:
Ajeitando a integral:
Passo 4
Bom, nos deparamos com outro probleminha que precisaremos novamente de uma relação. Nem sempre elas vão estar na ponta da língua, então quanto mais usarmos em exercícios desse tipo melhor.
Agora que temos tudo simplificado podemos resolver as integrais, lembrando que o número de dentro do argumento passa multiplicando no denominador: