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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 24

Use um recurso gráfico computacional, quando necessário, para encontrar a área da região englobada pelas curvas.

x = y 3 - 4 y 2 + 3 y ,     x = y 2 - y

Passo 1

Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

Ou

A = ∫ c d g m a i o r - g m e n o r d y

E calculá-la. Vamos lá!

Passo 2

Vamos usar um recurso gráfico para esboçar nossa região:

A gente percebe que como temos funções que variam em y , é melhor montarmos a integral em relação a esse eixo. Outra coisa que vemos é que temos duas regiões separadas: na de cima, a função x = y 3 - 4 y 2 + 3 y é a menor e a função x = y 2 - y é a maior, e na região de baixo, a situação se inverte. Nossa integral precisa então ser dividida em duas:

A = A 1 + A 2

A = ∫ y 1 y 2 y 3 - 4 y 2 + 3 y - y 2 - y   d y + ∫ y 2 y 3 ( y 2 - y ) - ( y 3 - 4 y 2 + 3 y ) d y

Passo 3

Precisamos descobrir os nossos extremos de integração y 1 ,   y 2 e y 3 . Como? Achando os valores de y para a interseção entre essas duas curvas.

x = y 3 - 4 y 2 + 3 y ,     x = y 2 - y

y 3 - 4 y 2 + 3 y = y 2 - y ∴ y 3 - 5 y 2 + 4 y = 0

y y 2 - 5 y + 4 = 0

A gente tem que:

y = 0

E resolvendo a equação do segundo grau em parênteses:

y = 5 ± 25 - 4 ⋅ 1 ⋅ 4 2

y = 4 ,   y = 1

Como y 1 < y 2 < y 3 pela forma que montamos a integral, temos que:

y 1 = 0 ,   y 2 = 1 ,   y 3 = 4

Nossa integral fica:

A = ∫ 0 1 y 3 - 4 y 2 + 3 y - y 2 - y   d y + ∫ 1 4 ( y 2 - y ) - ( y 3 - 4 y 2 + 3 y ) d y

Passo 4

Agora é só calcular a integral:

A = ∫ 0 1 y 3 - 4 y 2 + 3 y - y 2 - y   d y + ∫ 1 4 ( y 2 - y ) - ( y 3 - 4 y 2 + 3 y ) d y

A = ∫ 0 1 y 3 - 5 y 2 + 4 y   d y + ∫ 1 4 5 y 2 - 4 y - y 3 d y

A = y 4 4 - 5 y 3 3 + 2 y 2 ​ 0 1 - y 4 4 + 5 y 3 3 - 2 y 2 ​ 1 4 = 71 6

Resposta

A = 71 6

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