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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 26

Use um recurso gráfico computacional, quando necessário, para encontrar a área da região englobada pelas curvas.

y = 1 x 1 - ln ⁡ x 2 ,     y = 3 x

Passo 1

Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

Ou

A = ∫ c d g m a i o r - g m e n o r d y

E calculá-la. Vamos lá!

Passo 2

Vamos usar um recurso gráfico para esboçar nossa região:

A gente percebe que como temos funções que variam em x , é melhor montarmos a integral em relação a esse eixo. Outra coisa que vemos é que a região que precisamos encontrar está limitada por cima pela função y = 3 x (função maior), e por baixo por y = 1 x 1 - ln ⁡ x 2 (função menor). A integral fica com essa carinha:

A = ∫ x 1 x 2 3 x - 1 x 1 - ln ⁡ x 2   d x

Passo 3

Precisamos descobrir os nossos extremos de integração x 1 e x 2 . Como? Achando os valores de x para a interseção entre essas duas curvas.

y = 3 x ,     y = 1 x 1 - ln ⁡ x 2

3 x = 1 x 1 - ln ⁡ x 2 ∴ 1 3 = 1 - ln ⁡ x 2

E resolvendo a equação, isolando esse x :

ln ⁡ ( x ) = ± 8 9

x = e 2 3 2 ,     x = e - 2 3 2

Como x 1 < x 2 pela forma que montamos a integral, temos que:

x 1 = e - 2 3 2 ,     x 2 = e 2 3 2

Nossa integral fica:

A = ∫ e - 2 3 2 e 2 3 2   3 x - 1 x 1 - ln ⁡ x 2   d x

Passo 4

Agora é só calcular a integral:

A = ∫ e - 2 3 2 e 2 3 2   3 x - 1 x 1 - ln ⁡ x 2   d x

Vamos chamar u = ln ⁡ x , d u = 1 x d x ∴ d u 2 = x d x para resolver a última integral:

∫ 1 1 - u 2 d u = a r c s e n   u = a r c s e n   ( ln ⁡ x )

Nossa área fica:

A = 3 ln ⁡ x - a r c s e n   ln ⁡ x ​ e - 2 3 2 e 2 3 2 = 2 3 - a r c s e n 2 3 2 + 2 3 + a r c s e n - 2 3 2

A = 4 3 - a r c s e n 2 3 2 - a r c s e n 2 3 2 = 4 3 - 2 a r c s e n 2 3 2

Resposta

4 3 - 2 a r c s e n 2 3 2

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