Calcule a área das seguintes superfícies:
- Superfície do cilindro limitado pelos planos e o cone
Passo 1
Note que podemos escrever a equação do nosso cilindro como
Assim, nada melhor do que tomarmos:
Pois, para todo . Assim, uma boa parametrização para nosso cilindro é:
Note que , pois devemos percorrer inteiramente cada círculo. A seguir, vamos determinar como varia.
Passo 2
Note que devemos ter . Como , e , temos:
Vamos agora partir para o cálculo da área!! :D
Passo 3
Sabemos que
onde
Então, antes de tudo precisamos saber o valor de .
- Cálculo de :
- Cálculo de :
Assim,
Logo,
Passo 4
Assim, segue que
Essa integral parece bastante desafiadora. Porém, se lembrarmos que as coisas se simplificam enormemente. Veja:
Assim, nossa integral fica:
Devemos ter cuidado! Como para e para , devemos fazer:
Resposta
A área vale .