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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 4a

Calcule a área das seguintes superfícies:

  1. Superfície do cilindro x 2 + y 2 = 2 x limitado pelos planos z = 0 e o cone z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Note que podemos escrever a equação do nosso cilindro como

x 2 + y 2 = 2 x x 2 - 2 x + y 2 = 0 x 2 - 2 x + 1 + y 2 = 1 x - 1 2 + y 2 = 1

Assim, nada melhor do que tomarmos:

x - 1 = cos ⁡ θ ⟹ x = 1 + cos ⁡ θ

y = sin ⁡ θ

Pois, cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 para todo θ . Assim, uma boa parametrização para nosso cilindro é:

φ θ ,   v = 1 + cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ,   v

Note que 0 ≤ θ ≤ 2 π , pois devemos percorrer inteiramente cada círculo. A seguir, vamos determinar como v varia.

Passo 2

Note que devemos ter 0 ≤ z ≤ x 2 + y 2 . Como z = v , x = 1 + cos ⁡ θ e y = sin ⁡ θ , temos:

0 ≤ v ≤ 1 + cos ⁡ θ 2 + sin 2 ⁡ θ 0 ≤ v ≤ 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ⏟ = 1 0 ≤ v ≤ 2 + 2 cos ⁡ θ

Vamos agora partir para o cálculo da área!! :D

Passo 3

Sabemos que

A = ∬ D ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ v   d θ   d v

onde

D = θ ,   v ∈ R 2 : 0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ v ≤ 2 + 2 cos ⁡ θ

Então, antes de tudo precisamos saber o valor de ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ v .

  1. Cálculo de ∂ φ ∂ θ :

    2. ∂ φ ∂ θ = ∂ ∂ θ 1 + cos ⁡ θ , ∂ ∂ θ sin ⁡ θ , ∂ ∂ θ v ∂ φ ∂ θ = - sin ⁡ θ , cos ⁡ θ , 0

  2. Cálculo de ∂ φ ∂ v :

∂ φ ∂ v = ∂ ∂ v 1 + cos ⁡ θ , ∂ ∂ v sin ⁡ θ , ∂ ∂ v v ∂ φ ∂ v = 0,0 , 1

Assim,

∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ v = i j k - sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1   ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ v = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , 0

Logo,

∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ v = cos ⁡ θ 2 + sin ⁡ θ 2 + 0 2 = 1

Passo 4

Assim, segue que

A = ∬ D ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ v   d v   d θ A = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 + 2 cos ⁡ θ 1   d v   d θ A = ∫ 0 2 π 2 + 2 cos ⁡ θ   d θ

Essa integral parece bastante desafiadora. Porém, se lembrarmos que cos ⁡ θ = 2 cos 2 ⁡ θ 2 - 1 as coisas se simplificam enormemente. Veja:

2 + 2 cos ⁡ θ = 2 1 + cos ⁡ θ 2 + 2 cos ⁡ θ = 2 1 + 2 cos 2 ⁡ θ 2 - 1 2 + 2 cos ⁡ θ = 2 cos ⁡ θ 2

Assim, nossa integral fica:

A = 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ θ 2   d θ

Devemos ter cuidado! Como cos ⁡ θ 2 ≥ 0 para 0 ≤ θ ≤ π e cos ⁡ θ 2 ≤ 0 para π ≤ θ ≤ 2 π , devemos fazer:

A = 2 ∫ 0 π cos ⁡ θ 2   d θ + ∫ π 2 π - cos ⁡ θ 2   d θ A = 2 2 sin ⁡ θ 2 0 π - 2 sin ⁡ θ 2 π 2 π A = 2 2 1 - 0 - 2 0 - 1 A = 8

Resposta

A área vale 8 .

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