1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.)

  1. σ(u, v) = (u, v, 1 - u - v), u ≥ 0, v ≥ 0 e u + v ≤ 1.
  2. σ(u, v) = (u, v, 2 - u - v), u² + v² ≤ 1.
  3. σ(u, v) = (u, v, u^2 + v^2), u^2 + v^2 ≤ 4.
  4. σ(u, v) = (u, v, 4 - u^2 - v^2), (u, v) ∈ K , onde K é o conjunto no plano uv limitado pelo eixo u e pela curva (em coordenadas polares)
  5. ρ = e^(-θ) 0 ≤ θ ≤ pi

  6. σ(u, v) = (u, v, 1/2 * u^2), 0 ≤ v ≤ u e u ≤ 2
  7. σ(u, v) = (cos(u, v, sen(u)), u^2 + 4*v^2 ≤ 1)

Passo 1

O primeiro passo é saber que superfície estamos trabalhando. A parametrização acima nos da

σ   u ,   v =   ( c o s   u ,   v ,   s e n   u )

Sob as condições

u 2   +   4 v 2   ≤   1

Isso quer dizer que nossa região é um plano cilíndrico recortado por uma elipse, temos uma imagem desse cilindro com eixo em y abaixo

Passo 2

Quando quisermos calcular superfícies temos dois caminhos a seguir

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v   d u d v    

Ou

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Isso quer dizer que podemos: Parametrizar e calcular a área a partir daí. Projetar no num plano coordenado a superfície e calcular a área nessa superfície. Vou escolher a opção 1.

Passo 3

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v   d u d v    

Vamos calcular as derivadas parciais

σ   u ,   v =   cos ⁡ u ,   v ,   s e n   u

σ u = - s e n   u ,   0   , cos ⁡ u

σ v = 0,1 , 0

Agora nos resta fazer o produto vetorial deles

∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v = x → y → z → - s e n   0 c o s 0 1 0

= cos ⁡ u   ,   0   ,   s e n   u

Agora vamos jogar nossos dados na integração

∫ ∫ R ' cos ² ⁡ u + s e n 2 u d u d v

=   ∫ ∫ R ' 1 d u d v

Agora só precisamos encontrar os intervalos de integração. Lembra das condições iniciais? Então serão elas que nos dirão limites de integração

u 2   +   4 v 2   ≤   1

Isso quer dizer que nossa região de integração é uma elipse logo seria legal trabalharmos com coordenadas elípticas – muito parecida com as polares. SO temos que prestar atenção ao Jacobiano, visto que estamos distorcendo o espaço de maneira diferente

x = a   r cos ⁡ u

y = b   r   s e n   u

J =     a b r

Assim os limites ficam

0 < θ < 2 π

0 < r < 1

Vamos agora voltar a nossa integral

∫ 0 2 π   ∫ 0 1   a b r     d r d θ

E essa é a maneira em integral de calcular a área de uma elipse. No nosso caso

a = 1

b = 1 / 2

∫ 0 2 π   ∫ 0 1 1 2 r     d r d θ

= π 2  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S d S =     π / 2    

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