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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 1-f

1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.)

  1. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   1   -   u   -   v ) ,   u   ≥   0 ,   v   ≥   0   e   u   +   v   ≤   1 .
  2. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   2   -   u   -   v ) ,   u 2   +   v 2     ≤   1 .
  3. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   u 2   +   v 2 ) ,   u 2   +   v 2   ≤   4 .
  4. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   4   -   u 2   -   v 2 ) ,   ( u ,   v )   ∈   K , onde K é o conjunto no plano uv limitado pelo eixo u e pela curva (em coordenadas polares)

    5. ρ   =   e - θ     0   ≤   θ   ≤   π

  5. σ   u ,   v =   u ,   v , 1 2 u 2 ,     0 ≤   v   ≤   u   e   u ≤ 2
  6. σ   ( u   v )   =   ( c o s   u ,   v ,   s e n   u ) ,     u 2   +   4 v 2   ≤   1  

Passo 1

O primeiro passo é saber que superfície estamos trabalhando. A parametrização acima nos da

σ   u ,   v =   ( c o s   u ,   v ,   s e n   u )

Sob as condições

u 2   +   4 v 2   ≤   1

Isso quer dizer que nossa região é um plano cilíndrico recortado por uma elipse, temos uma imagem desse cilindro com eixo em y abaixo

Passo 2

Quando quisermos calcular superfícies temos dois caminhos a seguir

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v   d u d v    

Ou

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Isso quer dizer que podemos: Parametrizar e calcular a área a partir daí. Projetar no num plano coordenado a superfície e calcular a área nessa superfície. Vou escolher a opção 1.

Passo 3

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v   d u d v    

Vamos calcular as derivadas parciais

σ   u ,   v =   cos ⁡ u ,   v ,   s e n   u

σ u = - s e n   u ,   0   , cos ⁡ u

σ v = 0,1 , 0

Agora nos resta fazer o produto vetorial deles

∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v = x → y → z → - s e n   0 c o s 0 1 0

= cos ⁡ u   ,   0   ,   s e n   u

Agora vamos jogar nossos dados na integração

∫ ∫ R ' cos ² ⁡ u + s e n 2 u d u d v

=   ∫ ∫ R ' 1 d u d v

Agora só precisamos encontrar os intervalos de integração. Lembra das condições iniciais? Então serão elas que nos dirão limites de integração

u 2   +   4 v 2   ≤   1

Isso quer dizer que nossa região de integração é uma elipse logo seria legal trabalharmos com coordenadas elípticas – muito parecida com as polares. SO temos que prestar atenção ao Jacobiano, visto que estamos distorcendo o espaço de maneira diferente

x = a   r cos ⁡ u

y = b   r   s e n   u

J =     a b r

Assim os limites ficam

0 < θ < 2 π

0 < r < 1

Vamos agora voltar a nossa integral

∫ 0 2 π   ∫ 0 1   a b r     d r d θ

E essa é a maneira em integral de calcular a área de uma elipse. No nosso caso

a = 1

b = 1 / 2

∫ 0 2 π   ∫ 0 1 1 2 r     d r d θ

= π 2  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S d S =     π / 2    

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Calcular a área da parte do plano 2 x + 2 y + z = 4 compreendida no interior da superfície prismática 1 ≤ x ≤ 2 ,1 ≤ y ≤ 2 .
Calcular a área da parte do paraboloide z = 4 - ( x 2 + y 2 ) acima do plano x y
Calcular a área da superfície plana x / 2 + z = 4 recortada pelo cone z = x 2 + y 2 .
Calcular a área da superfície do tetraedro cujas faces são partes dos planos z = 0 , y = 0 , x + 4 y + 2 z = 8 e - 2 x + 4 y + 2 z = 8
Seja S a face da frente do tetraedro limitados pelos planos coordenados e pelo plano x a + y b + z c = 1 ; a , b , c0 Mostrar que a área de S é dada por A S = A 1 2 + A 2 2 + A 3 2 Onde A 1 , A 2 e A