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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 42 - c

Uma lamina esférica é representada pela equação vetorial

r →   u , v = a cos ⁡ u c o s v       ,     a   s e n   u cos ⁡ v ,     a   s e n   v

0 ≤ u ≤ 2 π

- π 2 ≤ v ≤ π 2

  1. Supondo a = 4 , representar sobre a esfera as curvas coordenadas obtidas fixando u = π 4 e v   =   π 6 , respectivamente
  2. Determinar os vetores tangentes ∂ r → ∂ u   π 4 , π 6 e ∂ r → ∂ v π 4 , π 6 , represente-os sobre a esfera
  3. Determinar o vetor ∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v π 4 , π 6 , representando -o no corresponde ponto P
  4. Supondo que a densidade da esfera é constante. calcular o momento de inercia da esfera com relação ao eixo y

Passo 1

C) Determinar o vetor ∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v π 4 , π 6 , representando -o no corresponde ponto P

Vamos usar os dados dos exercícios anteriores. Por exemplo sabemos que

r →   u , v = a cos ⁡ u c o s v       ,     a   s e n   u cos ⁡ v ,     a   s e n   v

As derivadas parciais São

r u = 4 cos ⁡ v * - s e n u ,   4   c o s u cos ⁡ v ,   0

r v = - 4   s e n v   c o s u ,   - 4   s e n v   s e n u ,   4 cos ⁡ v

E vetores no ponto π 4 , π 6 ,

r u π 4 , π 6 = - 2 ,   2 , 0

r v π 4 , π 6 = - 6 ,   - 6 , 2

Agora podemos calcular ∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v π 4 , π 6

∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v =   x → y → z → - 2   2 0 - 6 - 6 2

∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v π 4 , π 6 = 2 2 ,   2 2 , 2 12

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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