Uma lamina esférica é representada pela equação vetorial

r → (a * cos(u), a * sen(u) * cos(v), a * sen(v))

0 ≤ u ≤ 2 * pi

- π/2 ≤ v ≤ π/2

  1. Supondo a = 4 , representar sobre a esfera as curvas coordenadas obtidas fixando u = pi / 4 e v = pi / 6 , respectivamente
  2. Determinar os vetores tangentes ∂r/∂u | (π/4, π/6) e ∂r/∂v (π/4, π/6) , represente-os sobre a esfera
  3. Determinar o vetor (∂r/∂u) x (∂r/∂v) (π/4, π/6) , representando -o no corresponde ponto P
  4. Supondo que a densidade da esfera é constante. calcular o momento de inercia da esfera com relação ao eixo y

Passo 1

C) Determinar o vetor ∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v π 4 , π 6 , representando -o no corresponde ponto P

Vamos usar os dados dos exercícios anteriores. Por exemplo sabemos que

r →   u , v = a cos ⁡ u c o s v       ,     a   s e n   u cos ⁡ v ,     a   s e n   v

As derivadas parciais São

r u = 4 cos ⁡ v * - s e n u ,   4   c o s u cos ⁡ v ,   0

r v = - 4   s e n v   c o s u ,   - 4   s e n v   s e n u ,   4 cos ⁡ v

E vetores no ponto π 4 , π 6 ,

r u π 4 , π 6 = - 2 ,   2 , 0

r v π 4 , π 6 = - 6 ,   - 6 , 2

Agora podemos calcular ∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v π 4 , π 6

∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v =   x → y → z → - 2   2 0 - 6 - 6 2

∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v π 4 , π 6 = 2 2 ,   2 2 , 2 12

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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