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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 26

A figura abaixo mostra uma calota esférica de altura h , cortada de uma esfera de raio r . Mostre que a área da superfície S da calota é S = 2 π r h . [Sugestão: Faça uma parte apropriada do círculo x 2 + y 2 = r 2 girar em torno do eixo y .

Passo 1

Precisamos usar essa fórmula aqui para provar que a área da superfície de da calota é é S = 2 π r h :

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

E o enunciado já dá um bizu para gente: podemos girar uma parte do círculo em torno de y . E como vamos girar em torno de y , precisamos fazer umas modificações na fórmula (só trocar x e y de lugar):

S = ∫ c d 2 π g y 1 + g ' y 2 d y

Vamos começar!

Passo 2

Que parte do círculo pode nos ajudar? Se vamos girar em torno de y , precisamos isolar x na equação do círculo para achar g ( y ) :

x 2 + y 2 = r 2 ∴ y = ± r 2 - y 2

Podemos usar o semicírculo na parte positiva de x :

g y = r 2 - y 2

Agora precisamos achar os extremos de integração. Repara no nosso desenho:

Em azul é a calota. Repara que a parte de g ( y ) que tem a calota está entre y = r - h e y = r . Então esses são os nossos extremos.

Passo 3

Sabemos que:

g y = r 2 - y 2

Precisamos calcular a derivada dela, usando a regra da cadeia:

g ' y = - 2 y ⋅ 1 2 r 2 - y 2

Passo 4

Vamos substituir tudo na nossa fórmula:

S = ∫ c d 2 π g y 1 + g ' y 2 d y

S = ∫ r - h r 2 π r 2 - y 2 1 + - 2 y ⋅ 1 2 r 2 - y 2 2 d y

Agora é integrar! Elevando nossa derivada ao quadrado e jogando nossa g ( y ) para dentro da raiz, depois fazendo a distributiva e rearrumando, ficamos com isso:

S = 2 π ∫ r - h r r 2 - y 2 + y 2 d y = 2 π ∫ r - h r r d y = 2 π r 2 - r 2 + r h

S = 2 π r h

Uhul! Conseguimos!

Resposta

Prova desenvolvida nos passos.

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