Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.Revisão - Ex. 11
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa
- Se é uma esfera e é uma constante de campo vetorial, então .
Passo 1
Opaaa, vamos ver essa questão?
Temos que analisar se essa afirmação aqui é verdadeira...
“Se é uma esfera e é uma constante de campo vetorial, então ”
Po... ele não diz nada sobre quem é , só sabemos que é constante.
Mas o que a gente sabe sobre funções constantes? Suas derivadas são sempre zero!!
Tem dois operadores que envolvem as derivadas de um campo vetorial: rotacional e divergente.
E tem um teorema que relaciona uma integral de superfície de um campo com o seu divergente, e o nome já é bem sugestivo – teorema do divergente hahah:
Onde é um sólido delimitado por .
Vamos usar esse teorema pra provar a afirmação!
Passo 2
Dado , o divergente é calculado assim:
Como a gente já tinha falado, é constante, então também vão ser! Ou seja:
E, aplicando o teorema do divergente:
Ou seja:
O que prova que a afirmação é verdadeira!
Resposta
VERDADEIRO