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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 3a

  1. Calcule, caso exista, e justifique sua resposta.

a)   ∫ 0 2 f x d x     onde     f x = 1       s e           0 ≤ x < 1 4       s e                           x = 1 2       s e           1 < x ≤ 2

Passo 1

∫ 0 2 f x d x     onde     f x = 1       s e           0 ≤ x < 1 4       s e                           x = 1 2       s e           1 < x ≤ 2

A ideia nessa questão será usar os teoremas da teoria desse capítulo. Olha só:

Teorema: Se f for limitada em [ a , b ] e descontínua em apenas um número finito de pontos de [ a , b ] . Então f será integrável em [ a , b ] .

Repare que f é limitada, pois só pode assumir os seguintes valores: 1 , 4 e 2 . Além disso, f é descontínua apenas no ponto x = 1 . Então f ( x ) é integrável no intervalo [ 0,2 ] pelo teorema alí de cima!

Passo 2

Agora vamos calcular a integral que ele nos pede!

I = ∫ 0 2 f x d x

Como nossa função possui descontinuidade, vamos separar em intervalos. Vem comigo!

I = ∫ 0 1 f ( x ) d x + ∫ 1 2 f ( x ) d x

Logo,

I = ∫ 0 1 1 d x + ∫ 1 2 2 d x

Passo 3

Integrando, temos:

  I = 1 × x ​ 0 1 + 2 × x ​ 1 2

Fazendo as contas:

I = 1 × 1 - 0 + 2 × 2 - 1

Por fim,

I = 3

Resposta

f é limitada, pois só pode assumir os seguintes valores: 1 , 4 e 2 . Além disso, f é descontínua apenas no ponto x = 1 . Então f ( x ) é integrável no intervalo [ 0,2 ]

∫ 0 2 f x d x = 3

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