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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.1 - Ex. 1b

Calcule, caso exista.

b) underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (x)/(sqrt(x^2 + y^2))

Passo 1

Tomando como base exemplos que temos no livro, e levando em consideração o problema que ela tem na origem, a intuição nos diz que esse limite não existe. Para a gente ter certeza, vamos usar uma para que diz

underset(( x , y ) -> ( e , f ))(l i m) f (x , y) = a <=> underset(t -> 0)(l i m) f (gamma_1 (t)) = a , AA gamma_1 ( t )

Como a gente acha que o limite não existe, então se nossa caixolinha despertar para dois caminhos que o limite vá para valores diferentes, ta feito... o limite não existe. Então bora lá.

Considere gamma_1 (t) = (0 , t) , temos que

underset(t -> 0)(l i m) f (gamma_1 (t)) = underset(t -> 0)(l i m) (0)/(sqrt(0 + t^2)) = 0

Mas, para gamma_2 (t) = (t , t) ,

underset(t -> 0)(l i m) f (gamma_2 (t)) = underset(t -> 0)(l i m) (t)/(sqrt(t^2 + t^2)) = underset(t -> 0)(l i m) (t)/(sqrt(2 t^2)) = (1)/(sqrt(2))

Logo, o limite não existe

Resposta

O limite não existe.

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