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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.1 - Ex. 1h

Calcule, caso exista.

h) underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (x y^2)/(x^2 - y^2)

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver mais um exercício junto! Para solucionar ele a gente pode se basear nos exemplos que foram dados no capítulo.

Bom, e como fazemos para descobrir se ele limite existe? Temos que fazer o seguinte teste:

underset(( x , y ) -> ( e , f ))(l i m) f (x , y) = a <=> underset(t -> 0)(l i m) f (gamma_1 (t)) = a , AA gamma_1 ( t )

Então vamos ao teste! Lembrando que nossa função é dada por:

f (x , y) = (x y^2)/(x^2 - y^2)

Vamos primeiro considerar que gamma_1 (t) = (0 , t) , teremos então:

underset(t -> 0)(l i m) f (gamma_1 (t))

underset(t -> 0)(l i m) (0 * t^2)/(0^2 - t^2)

underset(t -> 0)(l i m) (0)/(- t^2) = 0

Beleza! Agora vamos considerar um gamma_2 (t) = (t , t) , e vamos ter:

underset(t -> 0)(l i m) f (gamma_2 (t))

underset(t -> 0)(l i m) (t * t^2)/(t^2 - t^2)

underset(t -> 0)(l i m) (t^3)/(0)

Aqui a gente precisa lembrar que quando temos uma divisão por zero, nosso resultado tende para infinito, certo? Então, temos:

underset(t -> 0)(l i m) (t^3)/(0) = oo

Sendo assim, a gente viu que o limite não existe, porque:

underset(t -> 0)(l i m) f (gamma_1 (t)) != underset(t -> 0)(l i m) f (gamma_2 (t))

Show de bola! conseguimos!

Resposta

O limite não existe.

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Calcule, caso exista. lim x , y → 0,0 ⁡ x s e n 1 x 2 + y 2
Calcule, lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2
Calcule, caso exista.f) l i m x , y → 0,0 x + y x - y