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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 1h

Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

int int_B f (x , y) d x d y

Ou:

int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) f (x , y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) f (x , y) d y] d x

Neste caso, B é dado no enunciado como a área limitada por parábolas e fazendo:

u = y - x^2

v = x

Ou ainda:

x = v

y = u + v^2

Pretende-se determinar o resultado da transformação dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (u , v))| d u d v

Então:

(del (x , y))/(del (u , v)) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]| = |[[0,1],[1,2,v]]| = |- 1| = 1

|(del (x , y))/(del (u , v))| = 1

Portanto:

d x d y = d u d v

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_u v , onde B = phi (B_u v) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um conjunto de parábolas:

Então, a partir das inequações dadas pelo enunciado, obtém-se:

Quando 1 + x^2 = y -> u = 1

Quando 2 + x^2 = y -> u = 2

Quando x + x^2 = y -> x = y - x^2 -> v = u

Quando x = 0 -> v = 0

Dessa forma, tem-se:

B_u v = {(u , v) in R^2 | 1 <= u <= 2 e 0 <= v <= u}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B (e^(y - x^2))/(y - x^2) d x d y = int int_B_u v (e^u)/(u) d u d v

= int_1^2 (e^u)/(u) [int_0^u d v] d u

E, resolvendo-a:

= int_1^2 (e^u)/(u) [v] | [[u],[0]] d u

Substituindo o intervalo de integração:

= int_1^2 e^u d u

Passo 4

Para a outra integral, obtém-se:

= e^u | [[2],[1]]

Substituindo o intervalo de integração:

= e^2 - e

PS.: depois de muito revisar, acreditamos que o gabarito do final do livro esteja trocado =X

Resposta

e^2 - e

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Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x + y e x 2 - y 2d A , onde R é o retângulo delimitado pelas retas x - y = 0, x - y = 2, x + y = 0, x + y = 3
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R s e n ( 9 x 2 + 4 y 2 )d A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 1
Utilize a fórmula de mudança de variáveis e uma transformação adequada para calcular ∫ ∫ R x yd A , onde R é o quadrado com vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,1 ) ,( 2 ,0 )e( 1 ,- 1 ) .
Defina a integral dupla de uma função de duas variáveis sobreuma região limitada no plano coordenado.