Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 1c
Calcule o centro de massa
Passo 1
Através da integral dupla, as coordenadas do centro de massa de um conjunto são dadas por:
Onde o elemento de massa é dado por:
Neste caso, é dado no enunciado como um triângulo, tal que:
E
Além de que, a distância do ponto à origem é dada por:
Passo 2
A massa de é dada por:
Substituindo para coordenadas polares usando:
e
Tal que
Quando
Quando
Quando
Quando
Obtém-se:
Para este caso, utiliza-se o método da integral por partes, tal que:
e e
Lembrando que o método é dado por:
Então:
Assim:
Dessa forma:
Substituindo o intervalo de integração:
Passo 3
Assim, para a coordenada do centro de massa teremos:
Substituindo para coordenadas polares usando:
e
Tal que
Quando
Quando
Quando
Quando
Obtém-se:
Substituindo o intervalo de integração:
Passo 4
Já para a coordenada do centro de massa teremos:
Substituindo para coordenadas polares usando:
e
Tal que
Quando
Quando
Quando
Quando
Obtém-se:
Utilizando o método da substituição simples com e :
Quando
Quando
Substituindo o intervalo de integração:
Passo 5
Logo, substituindo esses resultados nas equações, o centro de massa estará localizado em:
E
Logo: