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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 6n

Calcule int int_B f (x , y) d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B f (x , y) d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = int int_B (x) d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) (x) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) (x) d y] d x

Fazendo o esboço do conjunto B :

Podemos ver a curva que fica acima da outra muda a partir do ponto onde elas se cruzam. Para determinar esse ponto as equações delas devem ser igualadas, tal que:

c o s x = 1 - c o s x -> c o s x = (1)/(2)

x = (pi)/(3)

Dessa forma, para a primeira região:

0 <= x <= (pi)/(3)

E

1 - c o s x <= y <= c o s x

Já para a segunda região:

(pi)/(3) <= x <= (pi)/(2)

E

c o s x <= y <= 1 - c o s x

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_0^(pi // 3) [int_(y = 1 - c o s x)^(y = c o s x) (x) d y] d x + int_(pi // 3)^(pi // 2) [int_(y = c o s x)^(y = 1 - c o s x) (x) d y] d x

F = int_0^(pi // 3) [x y] | [[y,=,c,o,s,x],[y,=,1,-,c,o,s,x]] d x + int_(pi // 3)^(pi // 2) [x y] | [[y,=,1,-,c,o,s,x],[y,=,c,o,s,x]] d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = int_0^(pi // 3) x [c o s x - 1 + c o s x] d x + int_(pi // 3)^(pi // 2) x [1 - c o s x - c o s x] d x

F = int_0^(pi // 3) [2 x c o s x - x] d x + int_(pi // 3)^(pi // 2) [x - 2 x c o s x] d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x , o termo 2 x c o s x deve ser resolvido pelo método da integração por partes com u = x e d v = c o s x d x , tal que d u = d x e v = s e n x . Lembrando que o método é dado por:

int u d v = u v - int v d u

Então:

F = [2 x s e n x - 2 int s e n x d x - (x^2)/(2)] | [[x,=,(pi)/(3)],[x,=,0]] + [(x^2)/(2) - 2 x s e n x + 2 int s e n x d x] | [[x,=,(pi)/(2)],[x,=,(pi)/(3)]]

F = [2 x s e n x + 2 c o s x - (x^2)/(2)] | [[x,=,(pi)/(3)],[x,=,0]] + [(x^2)/(2) - 2 x s e n x - 2 c o s x] | [[x,=,(pi)/(2)],[x,=,(pi)/(3)]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = [(2 pi)/(3) s e n ((pi)/(3)) + 2 cos ((pi)/(3)) - (pi^2)/(18) - 2] + [(pi^2)/(8) - pi s e n ((pi)/(2)) - (pi^2)/(18) + (2 pi)/(3) s e n ((pi)/(3)) + 2 cos ((pi)/(3))]

F = [(4 pi)/(3) s e n ((pi)/(3)) + 4 cos ((pi)/(3)) - pi - (pi^2)/(9) + (pi^2)/(8) - 2]

F = [(4 pi)/(3) ((sqrt(3))/(2)) + 4 ((1)/(2)) - pi + (pi^2)/(72) - 2]

F = (pi^2)/(72) + (pi)/(3) (2 sqrt(3) - 3)

Resposta

(pi^2)/(72) + (pi)/(3) (2 sqrt(3) - 3)

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