Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um círculo e, logo, deve envolver coordenadas polares na mudança de variável. Então, fazendo:

x = ρ c o s θ

y = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = c o s θ - ρ s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ = ρ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ

Portanto:

d x d y = ρ d ρ d θ

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um círculo de raio 1 ≤ r ≤ 2 de uma volta completa, mas que é limitado pela retas - x ≤ y ≤ x , então as novas variáveis serão dadas através do esboço do conjunto:

Tal que:

1 ≤ ρ ≤ 2

E

- π 4 ≤ θ ≤ π 4

Dessa forma, tem-se:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 1 ≤ ρ ≤ 2   e - π 4 ≤ θ ≤ π 4

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B e x 2 + y 2   d x d y = ∫ ∫ B ρ θ e ρ 2 c o s 2 θ + ρ 2 s e n 2 θ ρ d ρ d θ

= ∫ - π / 4 π / 4 ∫ 1 2 e ρ 2 ρ d ρ d θ = 2 ∫ 0 π / 4 ∫ 1 2 e ρ 2 ρ d ρ d θ

E, resolvendo-a com o método da substituição simples com u = ρ 2 e d u = 2 ρ d ρ , tem-se que:

Quando ρ = 2 → u = 4

Quando ρ = 1 → u = 1

Dessa forma:

2 ∫ 0 π / 4 ∫ 1 4 e u d u 2 d θ = ∫ 0 π / 4 e u | 4 1 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

= ∫ 0 π / 4 e 4 - e d θ

Passo 4

Portanto:

= e 4 - e θ | π / 4 0

Substituindo o intervalo de integração:

= π 4 e 4 - e

Resposta

π 4 e 4 - e

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