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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 1e

Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

int int_B f (x , y) d x d y

Ou:

int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) f (x , y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) f (x , y) d y] d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um círculo e, logo, deve envolver coordenadas polares na mudança de variável. Então, fazendo:

x = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[c,o,s,theta,-,rho,s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = rho

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = rho

Portanto:

d x d y = rho d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um círculo de raio 1 <= r <= 2 de uma volta completa, mas que é limitado pela retas - x <= y <= x , então as novas variáveis serão dadas através do esboço do conjunto:

Tal que:

1 <= rho <= 2

E

- (pi)/(4) <= theta <= (pi)/(4)

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 1 <= rho <= 2 e - (pi)/(4) <= theta <= (pi)/(4)}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B e^(x^2 + y^2) d x d y = int int_B_rho theta e^((rho^2 c o s^2 theta + rho^2 s e n^2 theta)) rho d rho d theta

= int_(- pi // 4)^(pi // 4) [int_1^2 e^(rho^2) rho d rho] d theta = 2 int_0^(pi // 4) [int_1^2 e^(rho^2) rho d rho] d theta

E, resolvendo-a com o método da substituição simples com u = rho^2 e d u = 2 rho d rho , tem-se que:

Quando rho = 2 -> u = 4

Quando rho = 1 -> u = 1

Dessa forma:

2 int_0^(pi // 4) [int_1^4 e^u ((d u)/(2))] d theta = int_0^(pi // 4) [e^u] | [[4],[1]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

= int_0^(pi // 4) [e^4 - e] d theta

Passo 4

Portanto:

= (e^4 - e) [theta] | [[pi,//,4],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (pi)/(4) (e^4 - e)

Resposta

(pi)/(4) (e^4 - e)

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Determine o volume do sólido dado.Abaixo do plano x + 2 y - z = 0 e acima da região limitada por y = x e y = x 4 .
Determine o volume do sólido dado.20.Abaixo da superfície z = 2 x + y 2 e acima da região limitada por x = y 2 e x = y 3 .
Calcule a integral dupla ∬ D 2 y x 2 + 1 d A ,D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ x}
Calcule a integral dupla. ∬ D e x / y d A , D = { ( x , y ) | 1 ≤ y ≤ 2 ,y ≤ x ≤ y 3 }
Calcule a integral dupla. ∬ D e y 2 d A , D = { ( x , y ) | 0 ≤ y ≤ 1 ,0 ≤ x ≤ y }