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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.7 - Ex. 11

Determine o centro de massa de uma semi-esfera, cuja densidade no ponto P é proporcional à distância de P ao centro.

Passo 1

O centro de massa é calculado tomando a seguinte relação

s C = ∭ B s   d m ∭ B d m

Onde s é nossa coordenada x , y , z e d m = δ x , y , z d x   d y   d z . Mas de vez ficar só na teoria, vamos para a prática.

Passo 2

Por simetria, não precisamos calcular o centro de massa para x c e y c , tal que x c = y c = 0 .

Desta forma precisamos apenas aplicar nossa relação para z .

Por se tratar de uma semi-esfera, podemos usar coordenada esféricas. Assim tome que

x = r cos ⁡ θ   s e n   ϕ

y = r   s e n   θ   s e n   ϕ

z = r cos ⁡ ϕ

Desta forma, tomando que nossa semi-esfera se encontra em z ≥ 0 , então devemos tomar nossos limites de integração como

0 ≤ r ≤ R ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ ϕ ≤ π / 2

Outra coisa importante de discutirmos é a densidade. Como sugerido, temos que a densidade em um ponto P é dada pela distância do ponto P à origem do sistema de coordenada, ou seja, Pitágoras.

Assim temos que

d m = δ x , y , z d x   d y   d z =   J   δ r , θ , ϕ d r   d θ   d ϕ = r 2 s e n ϕ   r   d r   d θ   d ϕ

Passo 3

Agora calculando z C

∫ 0 R ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 r cos ⁡ ϕ r 2 s e n   ϕ r   d ϕ   d θ   d r

A integral em r e em θ são fáceis e resume nossa integral em

= 2 π R 5 5 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ ϕ   s e n   ϕ   d ϕ

Que usando s e n   ϕ = u → cos ⁡ ϕ   d ϕ = d u e assim ficamos com ϕ = 0 → u = 0 e ϕ = π / 2 → u = 1

Assim ficamos com

= 2 π R 5 5 ∫ 0 1 u   d u = π R 5 5

Passo 4

Agora precisamos calcular a massa da nossa semi-esfera, ou seja

∭ d m = ∫ 0 R ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 r 2 s e n   ϕ r   d ϕ   d θ   d r

Podemos novamente integrar em r e θ que são integrais simples, assim ficamos com

= π R 4 2 ∫ 0 π / 2 s e n   ϕ   d ϕ = π R 4 2 - cos ⁡ ϕ 0 π / 2 = π R 4 2

Assim temos que o centro de massa em z será

z C = π R 5 / 5 π R 4 / 2 = 2 5 R

Resposta

0 ,   0 , 2 5 R

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