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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 15

Calcule a área da parte do paraboloide elíptico z = x 2 + 2 y 2 que se encontra dentro do cilindro 4 x 2 + 16 y 2 ≤ 1 .

Passo 1

A gente sabe que pra calcular área de superfície, nós usamos a fórmula:

A = ∬ K 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x d y

As derivadas parciais do nosso caso é:

∂ z ∂ x = 2 x       e     ∂ z ∂ y = 4 y

Aplicando na fórmula então temos:

A = ∬ K 1 + 4 x 2 + 16 y 2   d x d y

Passo 2

A nossa região se trata de um cilindro elípitico, então nós vamos parametrizar com coordenadas polares da seguinte forma:

2 x = ρ cos ⁡ t 4 y = ρ s e n   t ,     2 d x 4 d y = ρ

                                                            8   d x d y = ρ

x = ρ 2 cos ⁡ t y = ρ 4 s e n   t ,   d x d y = ρ 8 d ρ d t

Com 0 ≤ ρ ≤ 1 e 0 ≤ t ≤ 2 π .

Vamos jogar na nossa integral agora pra calcular a área:

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + ρ 2 cos 2 ⁡ t + ρ s e n 2 t   ρ 8 d ρ d t

Passo 3

Resolvemos agora:

A = 1 8 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + ρ 2   ρ d ρ d t

u = 1 + ρ 2 → d u = 2 ρ

A = 1 8 ⋅ 1 2 ∫ 0 2 π ∫ u   d u d θ

A = 1 16 ∫ 0 2 π 2 3 u 3 2 d θ

A = 1 16 ⋅ 2 3 ∫ 0 2 π 1 + ρ 2 3 2 0 1 d θ

A = 1 24 ∫ 0 2 π 2 3 2 - 1   d θ

A = 1 24 2 2 θ - 1 θ 0 2 π

A = 1 24 4 π 2 - 2 π

A = π 12 2 2 - 1

E prontinho! Essa é a área😉

Resposta

A = π 12 2 2 - 1

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