Seja z = f(x, y) , (x, y) ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂f / ∂x e ∂f / ∂y estão definidas em A e que (∂²f) / (∂x ∂y) e ∂²f / ∂y ∂x são contínuas em A . Seja (x0, y0) um ponto qualquer de A ; seja B uma bola aberta de centro (x0, y0) e contida em A . Sejam h e k tais que (x0 + h, y0 + k) pertença a B . Seja ainda

H(h, k) = f(x0 + h, y0 + k) - f(x0, y0 + k) - f(x0 + h, y0) + f(x0, y0)

Considere as funções ϕ(t) = f(t, y0 + k) - f(t, y0) e ρ(s) = f(x₀ + h, s) - f(x₀, s) .

Prove: existem t₂ e s₂ , com t₂ entre x₀ e x₀ + h e s₂ entre y₀ e y₀ + k , tais que

H(h, k) = (∂²f) / (∂x ∂y) (t₂, s₂) h k = ρ(y₀ + k) - ρ(y₀)

Passo 1

Vamos fazer algo muito semelhante ao que foi feito nos itens (b) e (c).

Pelo teorema do valor médio, existe s 2 entre y 0 e y 0 + k tal que

ρ y 0 + k - ρ y 0 = ρ ' s 2   k

Por outro lado, sabemos que

ρ ' s 2 = ∂ f ∂ y x 0 + h ,   s 2 - ∂ f ∂ y ( x 0 ,   s 2 )

Assim,

ρ y 0 + k - ρ y 0 = ∂ f ∂ y x 0 + h ,   s 2 - ∂ f ∂ y x 0 ,   s 2   k

Passo 2

Agora consideremos a função

F t = ∂ f ∂ y ( t ,   s 2 )

Pelo teorema do valor médio, existe t 2 entre x 0 e x 0 + h tal que

F x 0 + h - F x 0 = ∂ f ∂ y x 0 + h ,   s 2 - ∂ f ∂ y x 0 ,   s 2 = F ' t 2   h

Por outro lado,

F ' t 2 = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ( t 2 ,   s 2 )

Assim,

∂ f ∂ y x 0 + h ,   s 2 - ∂ f ∂ y x 0 ,   s 2 = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ( t 2 ,   s 2 )   h

Logo,

ρ y 0 + k - ρ y 0 = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ( t 2 ,   s 2 )   h k

Resposta

Demonstração.

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