Seja z = f ( x , y ) , x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x∂ y e ∂ 2 f ∂ y∂ x são contínuas em A . Seja ( x 0 ,y 0 ) um ponto qualquer de A ; seja B uma bola aberta de centro ( x 0 ,y 0 ) e contida em A . Sejam h e k tais que ( x 0 + h ,y 0 + k ) pertença a B . Seja ainda H h , k = f x 0 + h ,y 0 + k - f x 0 , y 0 + k - f x 0 + h , y 0 + f x 0 , y 0 Considere as funções ϕ t = f t ,y 0 + k - f ( t , y 0 ) e ρ s = f x 0 + h , s - f ( x 0 , s ) .Prove: existem t 2 e s 2 , com t 2 entre x 0 e x 0 + h e s 2 entre y 0 e y 0 + k , tais que H h , k = ∂ 2 f ∂ x∂ y t 2 ,s 2h k = ρ y 0 + k - ρ ( y 0 )

Enunciado

Vamos fazer algo muito semelhante ao que foi feito nos itens (b) e (c).

Pelo teorema do valor médio, existe entre e tal que

Por outro lado, sabemos que

Assim,

Agora consideremos a função

Pelo teorema do valor médio, existe entre e tal que

Por outro lado,

Assim,

Logo,

Demonstração.