Seja , , com aberto. Suponha que e estão definidas em e que e são contínuas em . Seja um ponto qualquer de ; seja uma bola aberta de centro e contida em . Sejam e tais que pertença a . Seja ainda
Considere as funções e .
Prove: existem e , com entre e e entre e , tais que
Passo 1
Vamos fazer algo muito semelhante ao que foi feito nos itens (b) e (c).
Pelo teorema do valor médio, existe entre e tal que
Por outro lado, sabemos que
Assim,
Passo 2
Agora consideremos a função
Pelo teorema do valor médio, existe entre e tal que
Por outro lado,
Assim,
Logo,
Resposta
Demonstração.