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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 15d

Seja z = f ( x , y ) , x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x   ∂ y e ∂ 2 f ∂ y   ∂ x são contínuas em A . Seja ( x 0 ,   y 0 ) um ponto qualquer de A ; seja B uma bola aberta de centro ( x 0 ,   y 0 ) e contida em A . Sejam h e k tais que ( x 0 + h ,   y 0 + k ) pertença a B . Seja ainda

H h , k = f x 0 + h ,   y 0 + k - f x 0 , y 0 + k - f x 0 + h , y 0 + f x 0 , y 0

Considere as funções ϕ t = f t ,   y 0 + k - f ( t , y 0 ) e ρ s = f x 0 + h , s - f ( x 0 , s ) .

Prove: existem t 2 e s 2 , com t 2 entre x 0 e x 0 + h e s 2 entre y 0 e y 0 + k , tais que

H h , k = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y t 2 ,   s 2   h k = ρ y 0 + k - ρ ( y 0 )

Passo 1

Vamos fazer algo muito semelhante ao que foi feito nos itens (b) e (c).

Pelo teorema do valor médio, existe s 2 entre y 0 e y 0 + k tal que

ρ y 0 + k - ρ y 0 = ρ ' s 2   k

Por outro lado, sabemos que

ρ ' s 2 = ∂ f ∂ y x 0 + h ,   s 2 - ∂ f ∂ y ( x 0 ,   s 2 )

Assim,

ρ y 0 + k - ρ y 0 = ∂ f ∂ y x 0 + h ,   s 2 - ∂ f ∂ y x 0 ,   s 2   k

Passo 2

Agora consideremos a função

F t = ∂ f ∂ y ( t ,   s 2 )

Pelo teorema do valor médio, existe t 2 entre x 0 e x 0 + h tal que

F x 0 + h - F x 0 = ∂ f ∂ y x 0 + h ,   s 2 - ∂ f ∂ y x 0 ,   s 2 = F ' t 2   h

Por outro lado,

F ' t 2 = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ( t 2 ,   s 2 )

Assim,

∂ f ∂ y x 0 + h ,   s 2 - ∂ f ∂ y x 0 ,   s 2 = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ( t 2 ,   s 2 )   h

Logo,

ρ y 0 + k - ρ y 0 = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ( t 2 ,   s 2 )   h k

Resposta

Demonstração.

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