1. Calcule o comprimento do gráfico da curva dada.a) y = 2 / 3 * x^(3/2) , 0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Para calcular o comprimento do gráfico, tudo que precisamos é encontrar os parâmetros da seguinte equação.

c = ∫ a b 1 + f ' ( x ) d x

Do próprio enunciado, temos que a = 0 , b = 1 .

Calculando a derivada de

f x = 2 3 x 3 2 →   f ' x = x 1 2

Substituindo na integral, c = ∫ 0 1 1 + x d x

Agora bora calcular!

Passo 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição simples!

Vamos fazer,

u = 1 + x

d u = d x

Substituindo na integral,

∫ u d u = 2 3 u 3 2  

Voltando para variável x e calculando os limites de integração,

c = ∫ 0 1 1 + x d x = 2 1 + x 3 2 3 | 0 1 = 2 2 3 3 - 2 3 = 4 2 - 2 3

Resposta

4 2 - 2 3

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