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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.5 - Ex. 1c

Calcule o comprimento do gráfico da função dada.

c) y = ln ⁡ x ,     1 ≤ x ≤ e

Passo 1

Para o calcular o comprimento do gráfico precisamos aplicar a seguinte formula:

d = ∫ b a 1 + d y d x 2 d x

Sendo y = ln ⁡ x , vamos calcular sua derivada!

d y d x = 1 x

Passo 2

Aplicando a formula do comprimento:

d = ∫ 1 e 1 + 1 x 2 d x

Para que possamos resolver essa integral precisaremos fazer algumas substituições trigonométricas, para isso usaremos o triângulo abaixo para servi de norte!

Do triângulo tiramos que :

cot ⁡ θ = x

Derivando dos dois lados teremos

- csc 2 ⁡ θ d θ = d x

Note também que :

sec ⁡ θ = 1 + 1 x 2

Agora que já temos todas essas informações vamos reescrever a integral e calcular sua primitiva:

∫ 1 + 1 x 2 d x = ∫ - sec ⁡ θ csc 2 ⁡ θ d θ

Colocando o - 1 para fora da integral :

∫ 1 + 1 x 2 d x = - ∫ sec ⁡ θ csc 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Usaremos o método da substituição por partes para calcular essa primitiva, lembrando que ao escolher bem u e v , facilita as contas!!!

u = sec ⁡ θ                     d u = sec ⁡ θ tan ⁡ θ

d v = csc 2 ⁡ θ                 v = - cot ⁡ θ

Substituindo, teremos que:

∫ 1 + 1 x 2 d x = - - cot ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ - cot ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

∫ 1 + 1 x 2 d x = cot ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ d θ  

∫ 1 + 1 x 2 d x = cot ⁡ θ sec ⁡ θ - ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

Show, resolvemos a integral indefinida mas fizemos isso em função de θ precisamos agora trocar essas funções trigonométricas por x!

Mas eii, nos já calculamos esses caras lembra?

sec ⁡ θ = 1 + 1 x 2           ;   cot ⁡ θ = x       ;   tan ⁡ θ = 1 x

Assim após a substituição ficaremos com:

∫ 1 + 1 x 2 d x = x 1 + 1 x 2 - ln ⁡ 1 + 1 x 2 + 1 x + C

Passo 4

Agora que já temos a faca e o queijo na mão, calcularemos o comprimento d :

d = ∫ 1 e 1 + 1 x 2 d x

d = e 1 + 1 e 2 - ln ⁡ 1 + 1 e 2 + 1 e - 1 + 1 2 - ln ⁡ 1 + 1 2 + 1

d = e 2 + 1 - ln ⁡ e 2 + 1 + 1 e   - 2 + l n 2 + 1

Esperaaa um pouco my friend, eu sei que parece que já acabou mais a resposta ainda pode ser melhorada se nos usarmos as propriedades básicas de logatirimo!

d = e 2 + 1 - ln ⁡ e 2 + 1 + 1 + ln ⁡ e - 2 + l n 2 + 1

d = 1 + e 2 + 1 - 2 +   l n 2 + 1 e 2 + 1 + 1

Resposta

d = 1 + e 2 + 1 - 2 +   l n 2 + 1 e 2 + 1 + 1

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