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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 8

Sejam F 1 e F 2 dois pontos distintos do plano e seja k a metade da distância de F 1 a F 2 . O lugar geométrico dos pontos P do plano tais que P F 1 - ⋅ P F 2 - = k 2 denomina-se lemniscata de focos F 1 e F 2 .

  1. Tomando-se F 1 = - k , 0 e F 2 = k , 0 , determine a equação, em coordenadas cartesianas da lemniscata.
  2. Passe para coordenadas polares a equação obtida no item a) tomando para polo a origem e O x como eixo polar. Desenha a curva.

Passo 1

  1. Vamos assumir P = x , y , se tomarmos F 1 = - k , 0 e F 2 = k , 0 , temos as distâncias

    2. P F 1 - = x - - k 2 + y 2 = x + k 2 + y 2

    P F 2 - = x - k 2 + y 2

    Precisamos então calcular a multiplicação destas distâncias e igualarmos a k 2 .

    Passo 2

    Multiplicando as distâncias

    P F 1 - ⋅ P F 2 - = x + k 2 x - k 2 2 + x + k 2 y 2 + y 2 x - k 2 + y 4

    = x 2 - k 2 2 + y 2 x + k 2 + x - k 2 + y 4

    O que tem dentro dos colchetes, podemos simplificar

    x + k 2 + x - k 2 = x 2 + 2 k x + k 2 + x 2 - 2 k x + k 2

    = 2 x 2 + k 2

    E ficamos com

    = x 2 - k 2 2 + 2 y 2 x 2 + k 2 + y 4

    = x 4 - 2 k 2 x 2 + k 4 + 2 y 2 x 2 + k 2 + y 4

    Na igualdade P F 1 - ⋅ P F 2 - = k 2

    x 4 - 2 k 2 x 2 + k 4 + 2 y 2 x 2 + k 2 + y 4 = k 2

    Elevando os dois lados ao quadrado

    x 4 - 2 k 2 x 2 + k 4 + 2 y 2 x 2 + k 2 + y 4 = k 4

    x 4 - 2 k 2 x 2 + 2 y 2 x 2 + k 2 + y 4 = 0

    x 4 - 2 k 2 x 2 + 2 y 2 x 2 + 2 k 2 y 2 + y 4 = 0

    Agrupando alguns termos

    x 4 + 2 y 2 x 2 + y 4 = 2 k 2 x 2 - 2 k 2 y 2

    x 2 + y 2 2 = 2 k 2 x 2 - y 2

    Passo 3

  2. Passando para coordenadas polares

x 2 + y 2 2 = 2 k 2 x 2 - y 2

r 4 = 2 k 2 r 2 cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

r 2 = 2 k 2 cos ⁡ 2 θ

Resposta

  1. x 2 + y 2 2 = 2 k 2 x 2 - y 2

r 2 = 2 k 2 cos ⁡ 2 θ

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