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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.5 - Ex. 1e

Calcule o comprimento do gráfico da função dada.

e) y = e x + e - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Para o calcular o comprimento do gráfico precisamos aplicar a seguinte formula:

d = ∫ b a 1 + d y d x 2 d x

Sendo y = e x + e - x 2 , y também pode ser escrito como y = cosh ⁡ x   , assim vamos calcular sua derivada!

d y d x = sinh ⁡ x

Passo 2

Aplicando a formula do comprimento:

d = ∫ 0 1 1 + sinh ⁡ x 2 d x

Lembrando que cosh 2 ⁡ x = 1 + sinh 2 ⁡ x

d = ∫ 0 1 cosh 2 ⁡ x d x

d = ∫ 0 1 cosh ⁡ x d x

Passo 3

Deste modo, podemos calcular diretamente o comprimento do gráfico :

d = sinh ⁡ 1 - sinh ⁡ 0

Lembrando que :

sinh ⁡ x = e x - e - x 2

d = e 1 - e - 1 2 - e 0 - e 0 2

d = e 1 - e - 1 2

Resposta

d = e 1 - e - 1 2

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