Use a definição de derivada para encontra f’(5), se f(x) = raiz(3x + 1) .

Passo 1

Pela definição de derivada:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f ( x ) ∆ x

Passo 2

Como no enunciado já é dado o valor de x para a derivada que precisa ser calculada, vamos substituir ∆ x = x - 5 na definição e fazemos x tender a 5. Aplicando a função dada no enunciado na definição, ficamos com:

f ’ 5 = l i m x → 5 f ( x ) - f ( 5 ) x - 5

f ’ 5 = l i m x → 5 3 x + 1 - 3.5 + 1 x - 5

f ’ 5 = l i m x → 5 3 x + 1 - 4 x - 5

Multiplicando em cima e embaixo por 3 x + 1 + 4 :

f ’ 5 = l i m x → 5 3 x + 1 - 4 x - 5 . 3 x + 1 + 4 3 x + 1 + 4

f ’ 5 = l i m x → 5 3 x + 1 - 16 x - 5 3 x + 1 + 4

Reescrevendo:

f ’ 5 = l i m x → 5 3 ( x - 5 ) x - 5 3 x + 1 + 4

Simplificando:

f ’ 5 = l i m x → 5 3 3 x + 1 + 4

E então resolvendo o limite

f ’ 5 = 3 8

Resposta

f ’ 5 = 3 8

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