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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 56

Use a definição de derivada para encontra f ’ ( 5 ) , se f (x) = sqrt(3 x + 1) .

Passo 1

Pela definição de derivada:

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f ( x ))/(Delta x)

Passo 2

Como no enunciado já é dado o valor de x para a derivada que precisa ser calculada, vamos substituir Delta x = x - 5 na definição e fazemos x tender a 5. Aplicando a função dada no enunciado na definição, ficamos com:

f ’ (5) = underset(x -> 5)(l i m) (f ( x ) - f ( 5 ))/(x - 5)

f ’ (5) = underset(x -> 5)(l i m) (sqrt(3 x + 1) - sqrt(3.5 + 1))/(x - 5)

f ’ (5) = underset(x -> 5)(l i m) (sqrt(3 x + 1) - 4)/(x - 5)

Multiplicando em cima e embaixo por sqrt(3 x + 1) + 4 :

f ’ (5) = underset(x -> 5)(l i m) (sqrt(3 x + 1) - 4)/(x - 5) . (sqrt(3 x + 1) + 4)/(sqrt(3 x + 1) + 4)

f ’ (5) = underset(x -> 5)(l i m) (3 x + 1 - 16)/((x - 5) (sqrt(3 x + 1) + 4))

Reescrevendo:

f ’ (5) = underset(x -> 5)(l i m) (3 ( x - 5 ))/((x - 5) (sqrt(3 x + 1) + 4))

Simplificando:

f ’ (5) = underset(x -> 5)(l i m) (3)/(sqrt(3 x + 1) + 4)

E então resolvendo o limite

f ’ (5) = (3)/(8)

Resposta

f ’ (5) = (3)/(8)

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