Como no enunciado já é dado o valor de x para a derivada que precisa ser calculada, vamos substituir
Delta x = x - 5
na definição e fazemos x tender a 5. Aplicando a função dada no enunciado na definição, ficamos com:
f ’ (5) = underset(x -> 5)(l i m) (f ( x ) - f ( 5 ))/(x - 5)
f ’ (5) = underset(x -> 5)(l i m) (sqrt(3 x + 1) - sqrt(3.5 + 1))/(x - 5)
f ’ (5) = underset(x -> 5)(l i m) (sqrt(3 x + 1) - 4)/(x - 5)
Multiplicando em cima e embaixo por
sqrt(3 x + 1) + 4
:
f ’ (5) = underset(x -> 5)(l i m) (sqrt(3 x + 1) - 4)/(x - 5) . (sqrt(3 x + 1) + 4)/(sqrt(3 x + 1) + 4)
f ’ (5) = underset(x -> 5)(l i m) (3 x + 1 - 16)/((x - 5) (sqrt(3 x + 1) + 4))
Reescrevendo:
f ’ (5) = underset(x -> 5)(l i m) (3 ( x - 5 ))/((x - 5) (sqrt(3 x + 1) + 4))
Simplificando:
f ’ (5) = underset(x -> 5)(l i m) (3)/(sqrt(3 x + 1) + 4)
E então resolvendo o limite
f ’ (5) = (3)/(8)