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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 19

Calcule

int_1^2 (x^3 + x + (1)/(x^3)) d x

Passo 1

Podemos reescrever como sendo:

int_1^2 (x^3 + x + (1)/(x^3)) d x = int_1^2 x^3 d x + int_1^2 x d x + int_1^2 (1)/(x^3) d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x^3 d x , n = 3

int x^3 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((3) + 1))/((3) + 1) = (x^4)/(4)

Para int x d x = int x^1 d x , n = 1

int x^1 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((1) + 1))/((1) + 1) = (x^2)/(2)

Para int (1)/(x^3) d x = int x^(- 3) d x , n = - 3

int x^1 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((- 3) + 1))/((- 3) + 1) = (x^(- 2))/(- 2) = - (1)/(2 x^2)

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: [(x^4)/(4) + (x^2)/(2) - (1)/(2 x^2)] (2)/(1) =

= ((((2)^4)/(4) + ((2)^2)/(2) - (1)/(2 (2)^2)) - (((1)^4)/(4) + ((1)^2)/(2) - (1)/(2 (1)^2))) = (45)/(8)

Resposta

int_1^2 (x^3 + x + (1)/(x^3)) d x = (45)/(8)

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