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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 6b

6. Calcule

b ) int cos^2 5 x d x

Passo 1

Oi, pessoal! O que nos dificulta para resolver essa integral é esse cosseno ao quadrado, então a ideia é sumir com ele e ter uma integral mais simples de se resolver.

Para isso, usaremos a identidade trigonométrica c o s^2 (a) = ((1 + cos (2 a)))/(2)

No caso desse exercício, temos a = 5 x . Aplicando:

int cos^2 5 x d x

int (1 + cos (2 * 5 x))/(2) d x

int (1 + cos (10 x))/(2) d x

Simplificando, podemos escrever:

int (1)/(2) ( 1 + cos (10 x) ) d x

E aí podemos tirar a constante (1)/(2) pra fora :P

(1)/(2) int ( 1 + cos (10 x) ) d x

Agora partiu resolver a integral!

Passo 2

Beleza, então temos essa integralzinha pra resolver:

(1)/(2) int ( 1 + cos (10 x) ) d x

Como temos uma soma dentro da integral, podemos separar em duas integrais distintas né? Assim:

(1)/(2) (int 1 d x + int cos (10 x) d x)

Sabemos que a integral de uma constante k é k . x , então int 1 d x = 1 . x

Mas para resolver a segunda parte vamos ter que aplicar o método da substituição simples. Vamos lá!

Passo 3

Vamos resolver a parte,

int cos (10 x) d x

Vamos fazer a seguinte substituição,

u = 10 x

d u = 10 d x -> (d u)/(10) = d x

Fazendo a substituição na integral,

int cos (u) (1)/(10) d u = (sin u)/(10)

Voltando para variável x , temos

int cos (10 x) d x = (sin 10 x)/(10)

Juntando tudo, temos

int cos^2 5 x d x = (1)/(2) (x + (s e n (10 x))/(10)) + C

= (x)/(2) + (s e n (10 x))/(20) + C

Onde, C é a nossa constante de integração.

Resposta

int cos^2 5 x d x = (x)/(2) + (s e n (10 x))/(20) + C

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