Use um sistema de computação algébrica ou uma tabela de integrais para achar o comprimento de arco exato da curva y = x^(4/3) que está entre os pontos (0,0) e (1,1) .

Passo 1

Bom, o que devemos fazer é escrever a integral que fornece o comprimento de arco e tentar calculá-la usando uma tabela de integrais ou uma calculadora gráfica.

Derivando a função, temos que

y ' = 4 3 x 1 / 3 ⇒ 1 + y ' 2 = 1 + 16 9 x 2 / 3

Assim,

L = ∫ 0 1 1 + 16 9 x 2 / 3   d x

Passo 2

Utilizando uma calculadora gráfica, obtemos a primitiva para a função:

∫ 1 + 16 9 x 2 / 3   d x = 1 4 x 16 x 2 / 3 + 9 + 9 x 3 128 - 81 512 ln ⁡ 16 9 x 2 3 + 1 + 4 x 3 3

Assim,

L = 1 4 x 16 x 2 / 3 + 9 + 9 x 3 128 - 81 512 ln ⁡ 16 9 x 2 3 + 1 + 4 x 3 3 0 1

Portanto,

L = 1 4 25 + 9 128 - 81 512 ln ⁡ 25 9 + 4 3 = 5 4 + 9 128 - 81 521 ln ⁡ 5 3 + 4 3

Logo,

L = 169 128 - 81 512 ln ⁡ 3

Resposta

169 128 - 81 512 ln ⁡ 3

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