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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 62

Use a fórmula de redução (10) para calcular: ( a ) int cos^5 ( x ) d x ( b ) int_0^(pi // 2) c o s^6 (x) d x

Passo 1

A fórmula de redução (10) que o exercício pede para usarmos é dada por:

int c o s^n d x = (1)/(n) c o s^(n - 1) (x) sen (x) + (n - 1)/(n) int c o s^(n - 2) (x) d x

Aqui, devemos substituir o valor de n nos itens (a) e (b) desse exercício.

Passo 2

  1. int cos^5 ( x ) d x

    2. Se observarmos a estrutura da função dada, vamos notar que pode ser usada na fórmula (10) substituindo n = 5 :

    int c o s^5 d x = (1)/(5) c o s^(5 - 1) (x) sen (x) + (5 - 1)/(5) int c o s^(5 - 2) (x) d x

    Simplificando, temos:

    int c o s^5 d x = (1)/(5) c o s^4 (x) sen (x) + (4)/(5) int c o s^3 (x) d x

    Antes de resolver, temos que avaliar int cos^3 ( x ) d x aplicando na fórmula (10) com n = 3 :

    int c o s^3 d x = (1)/(3) c o s^(3 - 1) (x) sen (x) + (3 - 1)/(3) int c o s^(3 - 2) (x) d x

    Simplificando:

    int c o s^3 d x = (1)/(3) c o s^2 (x) sen (x) + (2)/(3) int c o s (x) d x

    Retornando a integral principal, temos que:

    int c o s^5 d x = (1)/(5) c o s^4 (x) sen (x) + (4)/(5) [(1)/(3) c o s^2 (x) sen (x) + (2)/(3) int c o s (x) d x]

    Calculando, temos que:

    int c o s^5 d x = (1)/(5) c o s^4 (x) sen (x) + (4)/(15) cos^2 (x) s e n (x) + (8)/(15) s e n (x) + C

    Passo 3

  2. int_0^((pi)/(2)) c o s^6 (x) d x

Para resolver esse segundo caso, iremos aplicar a mesma fórmula (10). Entretanto, agora n = 6 .

int c o s^6 d x = (1)/(6) c o s^(6 - 1) (x) sen (x) + (6 - 1)/(6) int c o s^(6 - 2) (x) d x

Simplificando, temos que:

int c o s^6 d x = (1)/(6) c o s^5 (x) sen (x) + (5)/(6) int c o s^4 (x) d x

Antes de resolver, temos que avaliar int cos^4 ( x ) d x aplicando na fórmula (10) com n = 4 :

int c o s^4 d x = (1)/(4) c o s^(4 - 1) (x) sen (x) + (4 - 1)/(4) int c o s^(4 - 2) (x) d x

Simplificando:

int c o s^4 d x = (1)/(4) c o s^3 (x) sen (x) + (3)/(4) int cos^2 ( x ) d x

Também temos que resolver int cos^2 ( x ) d x :

int cos^2 ( x ) d x = (1)/(2) c o s^(2 - 1) (x) sen (x) + (2 - 1)/(2) int c o s^(2 - 2) (x) d x

Simplificando:

int cos^2 ( x ) d x = (1)/(2) c o s (x) sen (x) + (1)/(2) int d x = (1)/(2) c o s (x) sen (x) + (1)/(2) x

Retornando as integrais:

int c o s^6 d x = (1)/(6) c o s^5 (x) sen (x) + (5)/(6) [(1)/(4) c o s^3 (x) sen (x) + (3)/(4) [(1)/(2) c o s (x) sen (x) + (1)/(2) x]]

Simplificando, temos:

int c o s^6 d x = (1)/(6) c o s^5 (x) sen (x) + (5)/(2 4) c o s^3 (x) sen (x) + (5)/(6) . (3)/(4) . (1)/(2) [cos (x) s e n (x) + x] + C

Assim:

int c o s^6 d x = (1)/(6) c o s^5 (x) sen (x) + (5)/(24) c o s^3 (x) sen (x) + (5)/(1 6) cos (x) s e n (x) + (5)/(16) x + C

Aplicando os limites de integração:

int_0^((pi)/(2)) c o s^6 (x) d x = [(1)/(6) c o s^5 (x) sen (x) + (5)/(24) c o s^3 (x) sen (x) + (5)/(16) cos (x) s e n (x) + (5)/(16) x]_0^((pi)/(2))

Resolvendo os limites de integração, temos que:

int_0^((pi)/(2)) c o s^6 (x) d x = (5 pi)/(32)

Resposta

(a) int c o s^5 d x = (1)/(5) c o s^4 (x) sen (x) + (4)/(15) cos^2 (x) s e n (x) + (8)/(15) s e n (x) + C

(b) int_0^((pi)/(2)) c o s^6 (x) d x = (5 pi)/(32)

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