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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.11 - Ex. 5

Calcule.

int (1)/(sqrt(3) cos x - sin x) d x

Passo 1

Vamos começar olhando apenas para o denominador, e vamos usar o fato que sqrt(3) = 2 cos (pi)/(6) , assim:

sqrt(3) cos x - sin x = 2 cos ((pi)/(6)) cos x - sin x

Agora, vamos utilizar a seguinte identidade:

cos a cos b = (1)/(2) [cos (a - b) + cos (a + b)]

Dessa forma,

2 cos ((pi)/(6)) cos x = cos ((pi)/(6) - x) + cos ((pi)/(6) + x)

Por outro lado, vamos utilizar o fato que:

sin x = 2 sin ((pi)/(6)) sin x

Isso porque, sin ((pi)/(6)) = (1)/(2) . Também utilizando a seguinte relação:

sin a sin b = (1)/(2) [cos (a - b) - cos (a + b)]

2 sin ((pi)/(6)) sin x = cos ((pi)/(6) - x) - cos ((pi)/(6) + x)

Dessa forma,

sqrt(3) cos x - sin x = 2 cos ((pi)/(6) + x)

E portanto,

(1)/(sqrt(3) cos x - sin x) = (1)/(2) sec (x + (pi)/(6))

Passo 2

Agora, colocando dentro da integral,

int (1)/(sqrt(3) cos x - sin x) d x = int (1)/(2) sec (x + (pi)/(6)) d x

Chamando, u = x + (pi)/(6) -> d u = d x

int (1)/(2) sec (u) d u = (1)/(2) ln |sec u + t g u| + C

int (1)/(sqrt(3) cos x - sin x) d x = (1)/(2) ln |sec (x + (pi)/(6)) + t g (x + (pi)/(6))| + C

Resposta

int (1)/(sqrt(3) cos x - sin x) d x = (1)/(2) ln |sec (x + (pi)/(6)) + t g (x + (pi)/(6))| + C

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