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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.12 - Ex. 1n

y = (1 + (1)/(x))^x

Passo 1

Utilizando a regrada da derivada de exponenciais:

(d y)/(d x) = (1 + (1)/(x))^x (d)/(d x) [x ln (1 + (1)/(x))]

Pegando o termo com a derivada e utilizando a regra do produto:

(d)/(d x) [x ln (1 + (1)/(x))] = ln (1 + (1)/(x)) + x (1)/(1 + (1)/(x)) (d)/(d x) [1 + (1)/(x)]

(d)/(d x) [x ln (1 + (1)/(x))] = ln (1 + (1)/(x)) + x (1)/(1 + (1)/(x)) [- (1)/(x^2)]

(d)/(d x) [x ln (1 + (1)/(x))] = ln (1 + (1)/(x)) - (1)/(x) ((1)/(1 + (1)/(x)))

Agora, juntando:

(d y)/(d x) = (1 + (1)/(x))^x [l n (1 + (1)/(x)) - (1)/(x) ((1)/(1 + (1)/(x)))]

Resposta

(d y)/(d x) = (1 + (1)/(x))^x [l n (1 + (1)/(x)) - (1)/(x) ((1)/(1 + (1)/(x)))]

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