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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2f

Calcule a derivada.

x = e^(t^2) s e n ( 3 t )

Passo 1

Nessa questão aqui, como temos um produto de funções, vamos usar a regra do produto:

(f (t) g (t))^' = f ' ( t ) g (t) + g ' (t) f (t)

No nosso caso,

f (t) = e^(t^2)

g (t) = sen 3 t

Portanto, aplicando:

(e^(t^2) sen 3 t)^' = (e^(t^2))^' * (sen 3 t) + (sen 3 t)^' * (e^(t^2))

Passo 2

Agora vamos calcular essas derivadas: pra derivar a exponencial, vamos precisar também da regra da cadeia, porque essa aí é feinha!

(e^(f (t)))^' = e^(f (t)) * f ' ( t )

No nosso caso,

(e^(t^2))^' = e^(t^2) (t^2)^'

(e^(t^2))^' = 2 t e^(t^2)

Beleza, não foi tão impossível! Agora vamos pra função seno, também pela regra da cadeia!

(sen (3 t))^' = 3 cos (3 t)

Passo 3

Agora é só substituir na expressão:

x^' = (e^(t^2) sen 3 t)^' = (e^(t^2))^' * (sen 3 t) + (sen 3 t)^' * (e^(t^2))

x^' = 2 t e^(t^2) s e n (3 t) + 3 cos (3 t) e^(t^2)

Botando a exponencial em evidência vamos chegar na resposta!

x^' = e^(t^2) (2 t s e n (3 t) + 3 cos (3 t))

Resposta

x^' = e^(t^2) (2 t s e n (3 t) + 3 cos (3 t))

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