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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2n

Calcule a derivada.

y = e^(x^x)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra da cadeia:

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Temos que g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = x^x

f (u) = e^u

Assim temos então que:

y^' = f^' (g (x)) * g^' (x) = (e^u)^' * (x^x)^'

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial, da função logarítmica natural e do polinômio:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 3

Primeiro vamos calcular f^' (g (x)) :

f^' (g (x)) = (e^u)^' = e^u * (u)^' = e^u * u^(1 - 1) = e^u * u^0 = e^u * 1 = e^u

Agora para g^' (x) vamos usar uma propriedade:

a^b = e^(b ln a)

Assim:

x^x = e^(x ln x)

g^' (x) = (x^x)^' = (e^(x ln x))^' = e^(x ln x) (x ln x)^'

Passo 4

Vamos ter que usar a regra do produto para calcular (x ln x)^' :

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = x

e

g (x) = ln x

Vamos ter então que:

(x ln x)^' = (x)^' (ln x) + (ln x)^' (x) = (x^(1 - 1)) (ln x) + (1)/(x) (x)^' (x) = (x^0) (ln x) + x^(1 - 1) = (1) (ln x) + x^0 = ln x + 1

Agora substituindo:

g^' (x) = (x^x)^' = (e^(x ln x))^' = e^(x ln x) (x ln x)^' = e^(x ln x) (ln x + 1)

Passo 5

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = (e^u)^' * (x^x)^' = e^u * e^(x ln x) (ln x + 1)

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y^' = e^u * e^(x ln x) (ln x + 1) = e^(x^x) x^x (ln x + 1)

Resposta

y^' = e^(x^x) x^x (ln x + 1)

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