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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2q

Calcule a derivada.

y = (2 (4 + 3 root(3)(x)) (2 - root(3)(x))^((3)/(2)))/(5)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f ' ( x ) g (x) + g ' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = (2 (4 + 3 root(3)(x)))/(5)

e

g (x) = (2 - root(3)(x))^((3)/(2))

y^' = ((2 (4 + 3 root(3)(x)) (2 - root(3)(x))^((3)/(2)))/(5))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = ((2 (4 + 3 root(3)(x)))/(5))^' * ((2 - root(3)(x))^((3)/(2))) + ((2 - root(3)(x))^((3)/(2)))^' * ((2 (4 + 3 root(3)(x)))/(5))

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra do polinômio e da função constante, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

y^' = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Para calcular f^' (x) vamos usar a regra do polinômio e da função constante:

f ' ( x ) = ((2 (4 + 3 root(3)(x)))/(5))^' = (2)/(5) (4 + 3 x^((1)/(3)))^' = (2)/(5) (0 + 3 * (1)/(3) x^((1)/(3) - 1)) = (2)/(5) (x^(- (2)/(3))) = (2)/(5 root(3)(x^2))

Com g ' ( x ) usamos as mesmas regras:

g^' (x) = ((2 - root(3)(x))^((3)/(2)))^' = ((2 - x^((1)/(3)))^((3)/(2)))^' = (3)/(2) (2 - x^((1)/(3)))^((3)/(2) - 1) (2 - x^((1)/(3)))^' = (3)/(2) (2 - x^((1)/(3)))^((1)/(2)) (0 - (1)/(3) x^((1)/(3) - 1)) = (3 sqrt(2 - x^((1)/(3))))/(2) (- (1)/(3) x^(- (2)/(3))) = (sqrt(2 - x^((1)/(3))))/(2) (- (1)/(root(3)(x^2))) = - (sqrt(2 - x^((1)/(3))))/(2 root(3)(x^2))

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y^' = ((2 (4 + 3 root(3)(x)))/(5))^' * ((2 - root(3)(x))^((3)/(2))) + ((2 - root(3)(x))^((3)/(2)))^' * ((2 (4 + 3 root(3)(x)))/(5)) = (2)/(5 root(3)(x^2)) * (2 - root(3)(x))^((3)/(2)) + (- (sqrt(2 - x^((1)/(3))))/(2 root(3)(x^2))) * ((2 (4 + 3 root(3)(x)))/(5)) = (2 (2 - root(3)(x))^((3)/(2)))/(5 root(3)(x^2)) - ((4 + 3 root(3)(x)) sqrt(2 - x^((1)/(3))))/(5 root(3)(x^2)) = (2 (2 - root(3)(x))^((3)/(2)) - (4 + 3 root(3)(x)) sqrt(2 - x^((1)/(3))))/(5 root(3)(x^2))

Resposta

y ' = (2 (2 - root(3)(x))^((3)/(2)) - (4 + 3 root(3)(x)) sqrt(2 - x^((1)/(3))))/(5 root(3)(x^2))

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