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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2p

Calcule a derivada.

y = ln [(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))] - (sqrt(1 - x^2))/(x)

Passo 1

Vamos usar a regra da soma primeiro:

y^' = (ln [(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))] - (sqrt(1 - x^2))/(x))^' = (ln [(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))])^' + (- (sqrt(1 - x^2))/(x))^' = (ln [(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))])^' - ((sqrt(1 - x^2))/(x))^'

Vamos resolver as duas derivadas separadamente.

Passo 2

Na primeira de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Temos que g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = (sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))

f (u) = ln u

Assim temos então que:

y^' = f^' (g (x)) * g^' (x) = (ln u)^' * ((sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x)))^'

Passo 3

Aqui vamos usar a regra da função logarítmica natural, do polinômio e da função constante, além da regra da divisão:

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Vamos aplicar:

y^' = (ln u)^' * ((sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x)))^' = ((u)^')/(u) * (((sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))^' (sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x)) - (sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x)) (sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))^')/([sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x)]^2))

Passo 4

Vamos resolver (sqrt(1 - x))^' e (sqrt(1 + x))^' separadamente:

(sqrt(1 - x))^' = ((1 - x)^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (1 - x)^((1)/(2) - 1) (1 - x)^' = (1)/(2) (1 - x)^(- (1)/(2)) (0 - x^(1 - 1)) = (1)/(2 sqrt(1 - x)) (- x^0) = (1)/(2 sqrt(1 - x)) (- 1) = - (1)/(2 sqrt(1 - x))

(sqrt(1 + x))^' = ((1 + x)^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (1 + x)^((1)/(2) - 1) (1 + x)^' = (1)/(2) (1 + x)^(- (1)/(2)) (0 + x^(1 - 1)) = (1)/(2 sqrt(1 + x)) (x^0) = (1)/(2 sqrt(1 + x)) (1) = (1)/(2 sqrt(1 + x))

Passo 5

Substituindo de volta vamos ter:

y^' = (ln u)^' * ((sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x)))^' = ((u)^')/(u) * (((sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))^' (sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x)) - (sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x)) (sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))^')/([sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x)]^2)) = (u^(1 - 1))/(u) * (((- (1)/(2 sqrt(1 - x)) + (1)/(2 sqrt(1 + x))) (sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x)) - (sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x)) (- (1)/(2 sqrt(1 - x)) - (1)/(2 sqrt(1 + x))))/([sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x)]^2)) = (1)/(u) u^0 * (((- (1)/(2 sqrt(1 - x)) + (1)/(2 sqrt(1 + x))) (sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x)) - (sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x)) (- (1)/(2 sqrt(1 - x)) - (1)/(2 sqrt(1 + x))))/([sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x)]^2)) = (1)/(u) * 1 * ((- (sqrt(1 - x))/(2 sqrt(1 - x)) + (sqrt(1 + x))/(2 sqrt(1 - x)) + (sqrt(1 - x))/(2 sqrt(1 + x)) - (sqrt(1 + x))/(2 sqrt(1 + x)) - (- (sqrt(1 - x))/(2 sqrt(1 - x)) - (sqrt(1 - x))/(2 sqrt(1 + x)) - (sqrt(1 + x))/(2 sqrt(1 - x)) - (sqrt(1 + x))/(2 sqrt(1 + x))))/((sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))^2)) = (1)/(u) * (((sqrt(1 + x))/(2 sqrt(1 - x)) + (sqrt(1 - x))/(2 sqrt(1 + x)) + (sqrt(1 - x))/(2 sqrt(1 + x)) + (sqrt(1 + x))/(2 sqrt(1 - x)))/((sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))^2)) = (1)/(u) * (((1 + x + 1 - x + 1 - x + 1 + x)/(2 sqrt(1 - x) sqrt(1 + x)))/((sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))^2)) = (1)/(u) * (((4)/(2 sqrt(1 - x) sqrt(1 + x)))/((sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))^2)) = (1)/(u) * ((2)/(sqrt(1 - x) sqrt(1 + x))) * (1)/((sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))^2) = (2)/(u sqrt(1 - x) sqrt(1 + x) (sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))^2)

Passo 6

Agora com a segunda derivada ((sqrt(1 - x^2))/(x))^' vamos usar a regra da divisão também:

((sqrt(1 - x^2))/(x))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((sqrt(1 - x^2))^' (x) - (sqrt(1 - x^2)) (x)^')/([x]^2) = ((1)/(2) (1 - x^2)^((1)/(2) - 1) (1 - x^2)^' (x) - (sqrt(1 - x^2)) (x^(1 - 1)))/(x^2) = ((1)/(2) (1 - x^2)^(- (1)/(2)) (0 - 2 x^(2 - 1)) (x) - (sqrt(1 - x^2)) (x^0))/(x^2) = ((1)/(2 sqrt(1 - x^2)) (- 2 x) (x) - (sqrt(1 - x^2)) (1))/(x^2) = ((- x^2)/(sqrt(1 - x^2)) - sqrt(1 - x^2))/(x^2) = ((- x^2 - 1 + x^2)/(sqrt(1 - x^2)))/(x^2) = ((- 1)/(sqrt(1 - x^2)))/(x^2) = (- 1)/(sqrt(1 - x^2)) * ((1)/(x^2)) = (- 1)/(x^2 sqrt(1 - x^2))

Passo 7

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = (ln [(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))])^' - ((sqrt(1 - x^2))/(x))^' = (2)/(u sqrt(1 - x) sqrt(1 + x) (sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))^2) - ((- 1)/(x^2 sqrt(1 - x^2))) = (2)/(u sqrt(1 - x) sqrt(1 + x) (sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))^2) + (1)/(x^2 sqrt(1 - x^2))

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y^' = (2)/(((sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))) sqrt(1 - x) sqrt(1 + x) (sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))^2) + (1)/(x^2 sqrt(1 - x^2))

Resposta

y^' = (2)/(((sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))) sqrt(1 - x) sqrt(1 + x) (sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))^2) + (1)/(x^2 sqrt(1 - x^2))

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