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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2o

Calcule a derivada.

y = (1)/(2) tg^2 x + ln cos x

Passo 1

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função logarítmica natural e do polinômio:

(tg (x))^' = sec^2 (x)

(cos (x))^' = - sen (x)

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 2

Vamos aplicar:

y^' = ((1)/(2) tg^2 x + ln cos x)^' = ((1)/(2) tg^2 x)^' + (ln cos x)^'

Vamos resolver a primeira derivada:

((1)/(2) tg^2 x)^' = 2 * (1)/(2) tg^(2 - 1) x * (tg x)^' = tg x sec^2 x

Agora a segunda:

(ln cos x)^' = (1)/(cos x) * (cos x)^' = (1)/(cos x) * (- sen x) = - tg x

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = ((1)/(2) tg^2 x)^' + (ln cos x)^' = tg x sec^2 x - tg x = tg x (sec^2 x - 1) = tg x tg^2 x = tg^3 x

Resposta

y^' = tg^3 x

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