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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.3 - Ex. 1-d

  1. Calcule

d ) int_(( - 1,0 ))^(( 1,0 )) (x)/(x^2 + y^2) d x + (y)/(x^2 + y^2) d y

Passo 1

Estamos no capítulo de campos conservativos. Logo se conseguirmos provar que nossa função F admite uma Função Potencial dessa forma

F = grad varphi

Logo nossa integral de linha fica

int_A^B F * d r = int_A^B grad varphi * d r = varphi (B) - varphi (A)

Quando F admite uma energia potencial, significa que F é independente de caminho logo podemos aplicar a Energia potencial final menos a inicial. Um dos métodos de provar a independência de caminho é

grad xx F = 0

Passo 2

Vamos provar que essa função admite Potencial

Nossa função F (x , y) = ( (x)/(x^2 + y^2) , (y)/(x^2 + y^2) ) . Quando dizemos que

F = grad varphi

Implica que

F (x , y) = ((d)/(d x) varphi , (d)/(d y) varphi)

Vamos descobrir varphi

(d)/(d x) varphi = (x)/(x^2 + y^2)

varphi = (1)/(2) ln (x^2 + y^2) + Gamma (y)

Vamos descobrir se existe alguma função dependente exclusivamente de y

(d)/(d y) varphi = (y)/(x^2 + y^2)

varphi = (1)/(2) ln (x^2 + y^2)

Logo como encontramos a mesma função logo nossa função potencial é

varphi = (1)/(2) ln (x^2 + y^2)

Passo 3

int_A^B F * d r = int_A^B grad varphi * d r = varphi (B) - varphi (A)

Agora so nos resta aplicar os pontos em varphi . O enunciado nos diz

int_((- 1,0))^((1,0)) (x)/(x^2 + y^2) d x + (y)/(x^2 + y^2) d y

Isso implica que nosso b = (1,0) e também que a = (- 1,0) . Vamos calcular nossa função potencial nos pontos

= varphi (B) - varphi (A)

= varphi (1,0) - varphi (- 1,0)

= (1)/(2) ln (1) - (1)/(2) ln (1)

= 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

int_(( - 1,0 ))^(( 1,0 )) (x)/(x^2 + y^2) d x + (y)/(x^2 + y^2) d y = 0

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Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.d) f → = y 2 - 3 - y x 2 + x y i → + 1 x + y + 2 x y + 2 y j →
Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = x vec i + y vec j + x z vec k
Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = - y vec i + x vec j + z vec k
Seja φ :Ω ⊂ R 2 → R , Ω aberto, de classe C 2 . Verifique que o campo vetorial F → =∇ φ é irrotacional.
Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = (x^2 + y^2) vec i