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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.6 - Ex. 1-d

  1. Calcule a derivada da função dada

d ) h (x) = int_(x^2)^(s e n x) (1)/(1 + x^4 t^4) d t

Passo 1

Aqui temos o mesmo problema do exercício anterior, para podemos facilitar podemos fazer uma manipulação algébrica

int_(x^2)^(s e n x) (1)/(1 + x^4 t^4) d t = int_(x^2)^a (1)/(1 + x^4 t^4) d t + int_a^(s e n x) (1)/(1 + x^4 t^4) d t

= - int_a^(x^2) (1)/(1 + x^4 t^4) d t + int_a^(s e n x) (1)/(1 + x^4 t^4) d t

Onde a é um número natural qualquer dentro do intervalo [x^2 , s e n x]

Passo 2

Agora sim podemos usar o truque de desenvolvemos no exercício anterior. Vamos usar a regra da Cadeia. Digamos que varphi seja função de u e v

h (x) = varphi (u , v) = int_a^(u^2) (1)/(1 + v^4 t^4) d t

Se quisermos derivar h teremos que fazer

h^' (x) = varphi^' (u , v) = (d varphi)/(d u) (d u)/(d x) + (d varphi)/(d v) (d v)/(d x)

E essa mesma ideia também serve para a outra integral

Passo 3

Logo isso faz com que nossa equação resulte em

h (x) = - int_a^(x^2) (1)/(1 + x^4 t^4) d t + int_a^(s e n x) (1)/(1 + x^4 t^4) d t

h^' (x) = - (1)/(1 + x^4 (x^2)^4) * (x^2)^' - 4 x^3 int_a^(x^2) (- (t^4)/((1 + x^4 t^4)^2)) d t + (1)/(1 + x^4 (s e n x)^4) (s e n x) ' + 4 x^3 int_a^(s e n x) (- (t^4)/((1 + x^4 t^4)^2)) d t

Passo 4

Podemos agora ajeitar essa derivação e unir as integrais numa única conta, afinal criamos essa separação apenas para ser mais fácil calcular.

h^' (x) = - (1)/(1 + x^(12)) * (2 x) + (1)/(1 + x^4 (s e n x)^4) ( cos x ) + 4 x^3 int_(x^2)^(s e n x) (- (t^4)/((1 + x^4 t^4)^2)) d t

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

h^' (x) = - (1)/(1 + x^(12)) * (2 x) + (1)/(1 + x^4 (s e n x)^4) ( cos x ) + 4 x^3 int_(x^2)^(s e n x) (- (t^4)/((1 + x^4 t^4)^2)) d t

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