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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 30

Calcule a derivada indicada.

(d)/(d x) (sqrt((cos x - 1)/(s e n x)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Antes de derivarmos, vamos reescrever a função:

sqrt((cos x - 1)/(s e n x)) = sqrt(h (x)) = (h (x))^(1 // 2) ,

onde h é dado por

h (x) = (cos x - 1)/(s e n x)

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos que

(d)/(d x) (sqrt((cos x - 1)/(s e n x))) = (d)/(d x) ((h (x))^((1)/(2))) = (1)/(2) (h (x))^(- 1 // 2) * h ' ( x )

Assim,

(d)/(d x) (sqrt((cos x - 1)/(s e n x))) = (1)/(sqrt(h ( x ))) * (h^' (x))/(2) = sqrt((s e n x)/(cos x - 1)) * (h^' (x))/(2)

Passo 3

Falta apenas calcular h ' ( x ) . Usando a regra do quociente:

h^' (x) = ((cos x - 1)^' s e n x - (cos x - 1) (s e n x)^')/(s e n^2 x) = (- s e n^2 x - cos^2 x + cos x)/(s e n^2 x)

Assim,

h^' (x) = (cos x - ( s e n^2 x + cos^2 x ))/(s e n^2 x) = (cos x - 1)/(s e n^2 x)

Portanto,

(d)/(d x) (sqrt((cos x - 1)/(s e n x))) = (cos x - 1)/(2 s e n^2 x) * sqrt((s e n x)/(cos x - 1))

Resposta

(d)/(d x) (sqrt((cos x - 1)/(s e n x))) = (cos x - 1)/(2 s e n^2 x) * sqrt((s e n x)/(cos x - 1))

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