Escreva a função composta na forma f(g(x)) . [Identifique a função de dentro u = g(x) e a de fora y = f(u) .] Então encontre a derivada dy/dx .

y = sen(e^x)

Passo 1

Oi galerinha, bora resolver mais uma comigo?

O enunciado solicita que escrevamos a função

y = s i n ⁡ ( e x )

Na forma f g x , identificando a função interna u = e x e a função externa y = sin ⁡ ( u ) Em seguida, devemos encontrar a derivada d y / d x dessa função composta.

Para resolver esta questão, primeiro reconhecemos que a função y = sin ⁡ ( e x ) é composta pela função seno aplicada a e x , então podemos identificar u = e x como a função interna.

A função externa é y = sin ⁡ ( u ) onde u = e x .

Agora, para encontrar a derivada d y / d x   , aplicamos a regra da cadeia, que nos permite diferenciar funções compostas.

Passo 2

A regra da cadeia afirma que se temos uma função composta y = f u e   u = g ( x ) então a derivada de y   em relação a x é dada por:

d y d x = d y d u ⋅ d u d x

Para isso, diferenciamos a função externa y = sin ⁡ ( u ) em relação a u , o que nos dá d y d u = cos ⁡ u , e a função interna u = e x em relação a x , o que nos dá d u d x = e x .

Em seguida, multiplicamos essas derivadas para encontrar d y / d x .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada d y / d x utilizando as informações que identificamos:

d y d u = cos ⁡ ( u )

d u d x = e x

Multiplicando essas derivadas, obtemos:

d y d x = cos ⁡ ( e x ) ⋅ e x

Resposta

d y d u = cos ⁡ ( u )

d u d x = e x

d y d x = cos ⁡ ( e x ) ⋅ e x

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