Calcule a derivada indicada.

D_x(raiz(x) tan(raiz(1/x)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Primeiro vamos aplicar a regra do produto:

D x x tan ⁡ 1 x = x ' ⋅ tan ⁡ 1 x + x ⋅ tan ⁡ 1 x '

Basta calcular as derivadas. Já sabemos que

x ' = 1 2 x

De modo que

D x x tan ⁡ 1 x = 1 2 x ⋅ tan ⁡ 1 x + x ⋅ tan ⁡ 1 x '

Passo 2

Quanto a segunda derivada, vamos usar a regra da cadeia e lembrar que a derivada da tangente é secante ao quadrado:

tan ⁡ 1 x ' = sec 2 ⁡ 1 x ⋅ 1 x '

Por outro lado,

1 x ' = 1 x ' = x - 1 2 ' = - 1 2 x - 3 2

Portanto,

tan ⁡ 1 x ' = - 1 2 x 3 sec 2 ⁡ 1 x

Passo 3

Desta forma,

D x x tan ⁡ 1 x = 1 2 x ⋅ tan ⁡ 1 x + x ⋅ - 1 2 x 3 sec 2 ⁡ 1 x

Assim,

D x x tan ⁡ 1 x = 1 2 x ⋅ tan ⁡ 1 x - 1 2 x ⋅ sec 2 ⁡ 1 x

Resposta

D x x tan ⁡ 1 x = 1 2 x ⋅ tan ⁡ 1 x - 1 2 x ⋅ sec 2 ⁡ 1 x

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