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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 36

Calcule a derivada indicada.

D_x (sqrt(x) tan sqrt((1)/(x)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Primeiro vamos aplicar a regra do produto:

D_x (sqrt(x) tan sqrt((1)/(x))) = (sqrt(x))^' * tan sqrt((1)/(x)) + sqrt(x) * (tan sqrt((1)/(x)))^'

Basta calcular as derivadas. Já sabemos que

(sqrt(x))^' = (1)/(2 sqrt(x))

De modo que

D_x (sqrt(x) tan sqrt((1)/(x))) = (1)/(2 sqrt(x)) * tan sqrt((1)/(x)) + sqrt(x) * (tan sqrt((1)/(x)))^'

Passo 2

Quanto a segunda derivada, vamos usar a regra da cadeia e lembrar que a derivada da tangente é secante ao quadrado:

(tan sqrt((1)/(x)))^' = sec^2 sqrt((1)/(x)) * (sqrt((1)/(x)))^'

Por outro lado,

(sqrt((1)/(x)))^' = ((1)/(sqrt(x)))^' = (x^(- (1)/(2)))^' = - (1)/(2) x^(- (3)/(2))

Portanto,

(tan sqrt((1)/(x)))^' = - (1)/(2 sqrt(x^3)) sec^2 sqrt((1)/(x))

Passo 3

Desta forma,

D_x (sqrt(x) tan sqrt((1)/(x))) = (1)/(2 sqrt(x)) * tan sqrt((1)/(x)) + sqrt(x) * (- (1)/(2 sqrt(x^3)) sec^2 sqrt((1)/(x)))

Assim,

D_x (sqrt(x) tan sqrt((1)/(x))) = (1)/(2 sqrt(x)) * tan sqrt((1)/(x)) - (1)/(2 x) * sec^2 sqrt((1)/(x))

Resposta

D_x (sqrt(x) tan sqrt((1)/(x))) = (1)/(2 sqrt(x)) * tan sqrt((1)/(x)) - (1)/(2 x) * sec^2 sqrt((1)/(x))

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Seja f uma função diferenciável e suponha que, para todo x ∈ D f , 3 x 2 + x sen ⁡ f x = 2 . Mostre que f ' x = - 6 x + sen ⁡ f x x cos ⁡ f x , para todo x ∈ D f , com x cos ⁡ f x ≠ 0 .
Derive.i) y = ln ⁡ sec ⁡ 3 x + tan ⁡ 3 x
Determine a derivada. f x = e 3 x
Determine a derivada. y = sen ⁡ x + cos ⁡ x 3
Determine a derivada. y = s i n 4 x