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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 11

Seja y = x e^(2 x) . Verifique que (d^2 y)/(d x^2) - 4 (d y)/(d x) + 4 y = 0 .

Passo 1

Derivamos y em relação a x utilizando primeiramente a regra do produto:

(d y)/(d x) = (x e^(2 x))^'

(d y)/(d x) = x^' (e^(2 x)) + x (e^(2 x))^'

E agora a regra da cadeia para calcular (e^(2 x))^' :

(d y)/(d x) = 1 (e^(2 x)) + x (e^(2 x)) (2 x)^'

(d y)/(d x) = e^(2 x) + x (e^(2 x)) (2)

(d y)/(d x) = e^(2 x) + 2 x e^(2 x)

Passo 2

Agora derivamos novamente, para determinar a derivada de 2 ª ordem:

(d^2 y)/(d x^2) = (d)/(d x) ((d y)/(d x))

(d^2 y)/(d x^2) = (e^(2 x) + 2 x e^(2 x))^'

(d^2 y)/(d x^2) = (e^(2 x))^' + 2 (x e^(2 x))^'

Calculamos (e^(2 x))^' com a regra da cadeia, e já obtivemos no passo anterior a derivada (x e^(2 x))^' = y^' :

(d^2 y)/(d x^2) = (e^(2 x)) (2 x)^' + 2 ((d y)/(d x))

(d^2 y)/(d x^2) = (e^(2 x)) (2) + 2 [e^(2 x) + 2 x e^(2 x)]

(d^2 y)/(d x^2) = 4 e^(2 x) + 4 x e^(2 x)

Passo 3

Só nos resta substituir y e suas derivadas na equação que queremos verificar:

(d^2 y)/(d x^2) - 4 (d y)/(d x) + 4 y = 0

4 e^(2 x) + 4 x e^(2 x) - 4 (e^(2 x) + 2 x e^(2 x)) + 4 (x e^(2 x)) = 0

0 = 0

Logo, y = x e^(2 x) satisfaz a equação dada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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