Seja y = f x uma função derivável num intervalo aberto I , com 1 ∈ I . Suponha f 1 = 1 e que, para todo x em I , f ' x = x + f x 3 .a) Mostre que f ' ' x existe para todo x em I .b) Calcule f ' ' 1 .c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 .

b) f ' ' 1 = 7 c) y - 1 = 2 x - 1

Enunciado

a) A fim de que exista para todo em , só temos que mostrar que é derivável nesse intervalo .

Como é derivável no intervalo , também será.

Assim, será derivável em , logo existirá para todo em .

b) Primeiro, vamos derivar para obter :

Pela regra da soma:

Agora usamos a regra da cadeia:

Mas sabemos que , então substituímos isso em :

Agora só falta substituir para calcular :

Lembre-se de que , logo:

c) Vamos lembrar da fórmula da equação da reta tangente a no ponto :

Então, substituímos :

Já sabemos que , só falta calcular :

Logo, a equação da reta será: