Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 23
Seja uma função derivável num intervalo aberto , com . Suponha e que, para todo em , .
a) Mostre que existe para todo em .
b) Calcule .
c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa .
Passo 1
a) A fim de que exista para todo em , só temos que mostrar que é derivável nesse intervalo .
Como é derivável no intervalo , também será.
Assim, será derivável em , logo existirá para todo em .
Passo 2
b) Primeiro, vamos derivar para obter :
Pela regra da soma:
Agora usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Mas sabemos que , então substituímos isso em :
Agora só falta substituir para calcular :
Lembre-se de que , logo:
Passo 4
c) Vamos lembrar da fórmula da equação da reta tangente a no ponto :
Então, substituímos :
Já sabemos que , só falta calcular :
Logo, a equação da reta será:
Resposta
b)
c)