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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5t

Calcule a derivada segunda.

g (t) = sqrt(t^2 + 3)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e da função constante, além da regra da cadeia para achar y^' :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 2

Vamos aplicar as regras para achar y^' :

g^' (t) = (sqrt(t^2 + 3))^' = ((t^2 + 3)^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (t^2 + 3)^((1)/(2) - 1) (t^2 + 3)^' = (1)/(2) (t^2 + 3)^(- (1)/(2)) (2 t^(2 - 1) + 0) = (1)/(2 sqrt(t^2 + 3)) (2 t) = (t)/(sqrt(t^2 + 3))

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora g^' (t) :

((f (t))/(h (t)))^' = (f^' (t) h (t) - f (t) h ' (t))/([h (t)]^2)

Temos que:

f (t) = t

e

g (t) = sqrt(t^2 + 3)

Assim:

g^(' ') (t) = (g^' (t))^' = ((t)/(sqrt(t^2 + 3)))^' = ((t)^' (sqrt(t^2 + 3)) - (t) (sqrt(t^2 + 3))^')/((sqrt(t^2 + 3))^2) = ((t^(1 - 1)) (sqrt(t^2 + 3)) - (t) (t)/(sqrt(t^2 + 3)))/(t^2 + 3) = ((t^0) sqrt(t^2 + 3) - (t^2)/(sqrt(t^2 + 3)))/(t^2 + 3) = ((1) sqrt(t^2 + 3) - (t^2)/(sqrt(t^2 + 3)))/(t^2 + 3) = ((t^2 + 3 - t^2)/(sqrt(t^2 + 3)))/(t^2 + 3) = ((3)/(sqrt(t^2 + 3)))/(t^2 + 3) = (3)/(sqrt(t^2 + 3)) * ((1)/(t^2 + 3)) = (3)/((t^2 + 3) sqrt(t^2 + 3))

Resposta

g^(' ') (t) = (3)/((t^2 + 3) sqrt(t^2 + 3))

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