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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5n

Calcule a derivada segunda.

y = (sen 3 x)/(e^x)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio, da regra da função exponencial e da função trigonométrica, além da regra da cadeia para achar y^' :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(sen (x))^' = cos (x)

(cos (x))^' = - sen (x)

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra da divisão:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = sen 3 x

e

g (x) = e^x

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = ((sen 3 x)/(e^x))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/([g (x)]^2) = ((sen 3 x)^' (e^x) - (sen 3 x) (e^x)^')/((e^x)^2) = (cos 3 x (3 x)^' (e^x) - (sen 3 x) e^x (x)^')/((e^x)^2) = (cos 3 x (3 x^(1 - 1)) - (sen 3 x) x^(1 - 1))/(e^x) = (cos 3 x (3 * 1) - (sen 3 x) * 1)/(e^x) = (3 cos 3 x - sen 3 x)/(e^x)

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y^' :

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = 3 cos 3 x - sen 3 x

e

g (x) = e^x

Assim:

y^(' ') = (y^')^' = ((3 cos 3 x - sen 3 x)/(e^x))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/([g (x)]^2) = ((3 cos 3 x - sen 3 x)^' e^x - (3 cos 3 x - sen 3 x) (e^x)^')/((e^x)^2) = ((3 (- sen 3 x (3 x)^') - cos 3 x (3 x)^') e^x - (3 cos 3 x - sen 3 x) e^x (x)^')/((e^x)^2) = ((- 3 sen 3 x (3 x^(1 - 1)) - cos 3 x (3 x^(1 - 1))) - (3 cos 3 x - sen 3 x) x^(1 - 1))/(e^x) = ((- 3 sen 3 x (3 x^0) - cos 3 x (3 x^0)) - (3 cos 3 x - sen 3 x) x^0)/(e^x) = ((- 3 sen 3 x (3 * 1) - cos 3 x (3 * 1)) - (3 cos 3 x - sen 3 x) * 1)/(e^x) = ((- 9 sen 3 x - 3 cos 3 x) - 3 cos 3 x + sen 3 x)/(e^x) = (- 6 cos 3 x - 8 sen 3 x)/(e^x)

Resposta

y^(' ') = (- 6 cos 3 x - 8 sen 3 x)/(e^x)

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